量子（弱）超代数的结构及相关问题研究

论文摘要

量子群由Drinfel’d和Jimbo在研究量子Yang-Baxter方程和二维可解格模型时提出的,它提供了三维流形及其Link的不变量（扭结理论,低维拓扑学）,提供了量子力学系统的量子对称性的一种描述工具,量子群具有十分丰富的理论内涵和广泛的应用范围.本学位论文研究了对应于单李超代数osp（1|2n）的双参数弱Hopf超代数wUrd,s（osp（1|2n））的结构,以及用Young表的语言刻画量子包络超代数Uq（osp（1|2n））的有限维既约模的晶体基;我们引入量子超群OSPq（1|2n）上量子超行列式的概念并讨论了它的性质.论文的研究内容有以下几个方面:首先对应于双参数Hopf超代数Ur,s（osp（1|2n））,我们构造了双参数弱Hopf超代数wUrd,s（osp（1|2n））;证明Ur,s（osp（1|2n））到Ur（?）1,s（?）1（osp（1|2n））之间存在Lusztig对称子,然后给出Ur,s（osp（1|2n））的PBW基,这些结论是经典量子群的Lusztig对称子理论的自然而不平凡地推广.进一步我们给出了双参数弱Hopf超代数wUrd,s（osp（1|2n））的PBW基.其次我们用广义Young表的语言描述有限维既约Uq（osp（1|2n））-模的张量积的晶体图,证明最高权为λ的有限维既约Uq（osp（1|2n））-模L（λ）对应一个（广义）Young图Y ,模L（λ）的晶体基可由满足一定条件的型为Y的半标准表组成的集合B（Y ）来标定,我们精确地得到了张量积分解的广义Littlewood-Richardson法则.最后我们研究了量子超群OSPq（1|2n）的量子超行列式.单李超代数osp（1|2n）的量子坐标超代数OSPq（1|2n）,可以由满足二次关系的生成元Tji来刻画.设T是由这些生成元组成的矩阵（称为量子超矩阵）,我们得到T的量子超行列式（sdetqT）的计算公式,发现量子超行列式与量子群SOq（2n + 1）对应的量子行列式是完全不同的,证明了（sdetqT）是量子超群OSPq（1|2n）的中心元,类群元,并且（sdetqT）的平方等于1.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号表
• 第1章 绪论
• 1.1 研究背景与现状
• 1.2 李超代数osp（1|2n）
• 1.3 Hopf 超代数
• q（osp（2l + 1|2n））的量子群结构'>1.3.1 量子包络超代数U_q（osp（2l + 1|2n））的量子群结构
• q（21 + 1|2n）'>1.3.2 量子坐标超代数OSP_q（21 + 1|2n）
• 1.4 弱Hopf超代数
• 1.5 本文研究内容及结构
• 第2章 wUrd,s（osp（1|2n））的弱Hopf超代数结构
• 2.1 双参数弱量子超代数wUrd,s（osp（1|2n））
• 2.2 wUrd,s（osp（1|2n））的相关性质
• 2.3 双参数弱Hopf超代数结构
• 2.4 本章小结
• 第3章 Lusztig 对称子与wUrd,s（osp（1|2n））的PBW基
• 3.1 Ur,s（osp（1|2n））的Lusztig 对称子
• 3.2 wUrd,s（osp（1|4））的PBW基
• 3.3 wUqd,q?1（osp（1|2n）） （n ≥3） 的PBW基
• 3.4 本章小结
• 第4章 Young表与Uq（osp（1|2n））的晶体基
• 4.1 Uq（osp（1|2n））的晶体基
• 4.2 基本表示和旋转表示
• 4.3 Young表与晶体基
• 4.4 晶体基的张量积分解
• 4.5 本章小结
• 第5章 量子超行列式
• 5.1 量子超群OSPq（1|2n）
• 5.2 量子超行列式
• 5.3 q-超行列式的性质
• 5.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果
• 致谢