几何约束系统建模与求解方法研究

论文摘要

几何约束求解技术是CAD系统开发的核心技术之一,几何约束求解器的开发涉及到系统建模与分解、约束维护以及求解等几个方面的关键技术。本文首先研究了几何约束系统的建模问题,基于几何约束和几何实体的欧拉参数表达,通过对欧拉参数表达的姿态约束和位置约束的解耦性研究,抽象出球体、盒体和球盒体三种基本几何实体表达空间几何实体,形成几何约束模型特有的层次结构。并以有向图管理几何约束系统,反映了几何实体之间的约束关系,为二、三维几何约束求解提供了内在的模型基础。在几何约束和几何实体统一表达的基础上,为提高求解效率,研究了几何约束求解的方法。针对三维装配姿态约束和位置约束的可解耦情况,提出求解姿态约束的球面几何和球面四杆机构法。对可操作的姿态约束的组合利用简单的球面上平移、旋转和刚性变换推理,快速地判定冗余约束和求解约束;对不可操作的姿态约束的组合利用球面四杆机构求解;将基本位置约束分量映射为移动空间,以参数方程表达移动空间,研究了移动空间的解析求交,采用增量形式的解析求交和数值混合法求解位置约束,并保持了基本约束表达的独立性,有利于冗余约束的管理。在二维几何约束求解中,存在可构造的刚性装配求解模式和不可构造的求解模式。针对二维空间完整几何约束系统刚性复合顶点的装配求解,细化和分离出可几何构造模式,提出几何增量构造的方法求解这些模式。通过对可构造模式子构型的构造,求出刚性体的自由转动和自由移动空间,在自由空间中构造未满足的几何约束。针对几何约束系统中不可构造的柔性复合顶点的求解问题,引入等价约束,分裂部分约束以打破柔性复合顶点的强耦合性,形成只包含简单顶点可封闭求解的求解序列。分析了等价约束的性质和结构拓扑,研究了求解序列顶点存在与不存在实数解情况下,雅可比矩阵的求解方法,从而以少量分裂约束方程组对等价约束变量的等价迭代,或者柔性复合顶点的局部迭代,取代柔性复合顶点的整体数值迭代求解,降低迭代的维数。在几何约束求解之前,需要剔除冗余约束,因为冗余约束影响着几何约束求解系统的效率和求解能力。本文鉴于雅可比矩阵奇异是判定约束冗余性的必要非充分条件的理论,针对冗余型奇异和分支型奇异的判定问题,提出一种新的切面扰动判定方法。该方法将奇异的雅可比矩阵分为独立构型空间和奇异空间,变量沿独立构型空间的切面扰动,计算更新的雅可比矩阵的秩,依据秩亏的变化可以快速、稳定地判定约束奇异性。本文的研究内容在原型系统CBABench中得到实现,并通过实例验证了研究内容的可行性和有效性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 课题的提出
• 1.2 几何约束求解方法综述
• 1.2.1 基于代数表达的几何约束求解
• 1.2.2 基于几何约束图的方法
• 1.2.3 基于人工智能的规则推理
• 1.3 本文主要内容及组织结构
• 1.3.1 本文的主要内容
• 1.3.2 本文的组织结构
• 1.4 本章小结
• 2 几何约束系统统一建模
• 2.1 引言
• 2.2 基本概念
• 2.3 几何实体的欧拉参数表达
• 2.3.1 欧拉参数及其性质
• 2.3.2 几何实体的欧拉参数表达
• 2.4 基于欧拉参数的几何约束统一表达
• 2.4.1 基本几何约束表达
• 2.4.2 常见工程约束的分量表达
• 2.5 几何实体欧拉参数表达的解耦性分析
• 2.6 基于欧拉参数解耦的几何实体统一表达
• 2.6.1 基于欧拉参数解耦的基本几何实体认定
• 2.6.2 基于基本几何实体的三维几何实体表达
• 2.7 几何约束系统统一建模
• 2.7.1 构造有向图
• 2.7.2 几何约束统一求解器的结构
• 2.8 本章小结
• 3 三维可解耦装配约束推理求解
• 3.1 引言
• 3.2 球面几何学
• 3.2.1 球面几何概述
• 3.2.2 球面三角形
• 3.3 可解耦单体基于球面几何的定姿操作
• 3.3.1 球面的运算规则
• 3.3.2 球面几何求解算法
• 3.4 解耦单体姿态满足后的定位解析求解
• 3.4.1 几何约束的移动空间
• 3.4.2 两个移动空间的解析求交
• 3.4.3 位置约束的增量解析求解
• 3.5 实例
• 3.6 本章小结
• 4 几何约束求解可构造模式及构造求解
• 4.1 引言
• 4.2 基本概念及求解模式
• 4.2.1 几何约束系统的基本概念
• 4.2.2 几何约束求解模式的分类
• 4.3 二维几何构造的基本操作
• 4.4 刚性复合顶点DDD 约束模式增量构造求解
• 4.4.1 2 对3 模式的求解
• 4.4.2 2 对3 模式子构型的构造
• 4.4.3 FRS（p）自由转动空间内几何约束的构造
• 4.4.4 FTS（l）自由转动运动空间内几何约束的构造
• 4.5 刚性复合顶点DDA 约束模式增量构造求解
• 4.5.1 dda 角度约束求解
• 4.5.2 dda 距离约束求解
• 4.5.3 dda 距离约束pp-pp 模式的求解
• 4.6 可变半径圆的构造
• 4.7 实例
• 4.8 本章小结
• 5 几何约束等价性及等价迭代算法
• 5.1 引言
• 5.2 复合顶点的基本性质
• 5.3 柔性复合顶点与等价约束
• 5.4 复合顶点的分解
• 5.5 等价约束结构拓扑与等价迭代算法
• 5.5.1 割线法
• 5.5.2 等价迭代法
• 5.6 实例
• 5.7 本章小结
• 6 几何约束奇异性判定的切面扰动法
• 6.1 引言
• 6.2 几何约束奇异性的类型
• 6.3 几何约束奇异性的判定方法
• 6.3.1 基于几何约束系统图结构的冗余约束符号判定法
• 6.3.2 基于二部图匹配的冗余约束符号判定法
• 6.3.3 残量扰动判定方法
• 6.4 几何约束奇异性的切面扰动法
• 6.4.1 切面扰动法的原理
• 6.4.2 切面扰动算法
• 6.5 算法比较与实例
• 6.6 本章小结
• 7 全文总结与展望
• 7.1 全文总结
• 7.2 进一步的研究工作
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 作者攻读博士学位期间发表的论文