力梯度辛算法的拓广与应用

论文摘要

在天体力学和非线性动力学的研究过程中,数值方法以及混沌的识别方法是研究天体力学和非线性动力学的主要研究方法和工具,所以寻找可靠而且高效的数值方法和混沌识别方法是目前天体力学和非线性动力学研究的重要课题,我们在本文中的主要研究工作是关于数值方法的拓广与应用。力梯度辛算法在精度上高于非力梯度辛算法,1997年Chin等提出了四阶力梯度辛算法。我们在此基础上进一步构造了新型的四阶力梯度辛算法并把它们应用于Henon-Heiles系统和四极矩核-壳模型进行模拟比较,发现它们具有较好的数值性能；此外,我们还运用力梯度辛算法研究了三维限制性三体问题的动力学。下面分别简述这些工作。首先,在能够分解为动能T部分和势能V部分的可分离哈密顿系统中,对势能V部分所对应的Lie算子加入力梯度算子在内的有关算子,使其包含一阶导数、二阶导数和三阶导数项,从而成功构造出新型的四阶力梯度辛算法,其中Chin等所提出的力梯度辛算法也是我们所构造的辛算法的一种特殊形式。把所推广的新型辛算法拓广应用于Henon-Heiles系统和四极矩核-壳模型,分别使用所构造的新型辛算法对有序轨道和混沌轨道进行数值模拟,数值结果表明无论是在能量误差方面还是在位置误差方面,新构造的辛算法精度远远优越于Forest-Ruth的非力梯度四阶辛算法,最优化辛算法具有良好的能量精度。新型辛算法可以推荐到实际计算中。其次,限制性三体问题是天体力学非常重要的模型之一,扁率项对限制性三体问题的平动点具有一定的影响作用。我们运用分析近似方法研究了含扁率J2和J3项的三维限制性三体问题在赤道平面外的平动点位置和稳定性；然后,我把该限制性三体问题的哈密顿分解为包含动量与坐标交叉项的动能部分和势能部分这两个可积部分,探讨了力梯度辛算法应用的可能性,并且用能量误差评估了力梯度辛算法的效果。最后研究了该问题的有序与混沌性质以及与动力学参数的依赖关系。总之,本学位论文的主要工作就是将已有四阶力梯度辛算法推广构造新型力梯度辛算法,并探讨了力梯度辛算法应用于限制性三体问题的可能性以及动力学参数与混沌的依赖关系。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 研究历史和现状
• 1.2 论文的主要内容和创新点
• 第2章 辛算法简介
• 2.1 引言
• 2.2 非力梯度辛算法
• 2.3 力梯度辛算法
• 第3章 含有三阶导数项的辛算法
• 3.1 引言
• 3.2 构造含有三阶导数项的辛算法
• 3.2.1 A型辛算法:算子D位于中间
• 3.2.2 B型辛算法:算子D位于两端
• 3.3 数值模拟
• 3.3.1 Henon-Heiles系统
• 3.3.2 四极矩核-壳模型
• 3.4 本章小结
• 第4章 三维限制性三体问题
• 4.1 引言
• 4.2 扁率J2和J3项的限制性三体问题
• 4.2.1 运动方程
• 4.2.2 平动点位置
• 4.2.3 平动点的稳定性
• 4.3 数值模拟
• 4.3.1 运动轨道的三维图形
• 4.3.2 能量误差
• 4.3.3 快速Lyapunov指标和功率谱
• 4.3.4 动力学参数对混沌的影响
• 4.3.5 轨道根数对混沌的影响
• 4.4 本章小结
• 第五章 结论与展望
• 5.1 结论
• 5.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读学位期间的研究成果