论文摘要
矩阵不等式在矩阵理论的研究中有着极其重要的地位,从某种意义上晚不等式比等式有更重要的用处。本文主要利用矩阵Schur补的性质和矩阵的特殊乘积,建立了若干的矩阵不等式。本文主要由两部分组成。第一部分主要利用矩阵Schur补的性质和分块矩阵的特性得到若干矩阵不等式。首先利用矩阵Schur补和分块矩阵的性质建立一个矩阵等式,这个矩阵等式不仅推广了杨忠鹏教授在2006年中国矩阵论会议上的结果,而且利用这个矩阵等式可以导出若干的矩阵不等式和行列式不等式,并且还讨论了这些不等式中等号成立的条件;其次利用定理2.6成立时须加上矩阵必须为压缩的,从而引出压缩矩阵的定义,并得到一些新的关于压缩的结果;最后利用矩阵Schur补得到一个关于矩阵Hadamard乘积的矩阵不等式,进而可导出若干新的和已有的矩阵不等式,例如著名的Amemiya不等式。基于矩阵特殊乘积在矩阵理论的研究中的重要地位,因此在本文的第二部分主要是对关于矩阵特殊乘积的不等式进行研究。首先利用矩阵Hadamard乘积和矩阵Kronecker乘积之间的联系,以及矩阵Khatri—Rao乘积和矩阵Tracy—Singh乘积之间的联系,建立若干关于矩阵Hadamard乘积和矩阵Khatri—Rao乘积的矩阵不等式;其次参照已有文献中的讨论方法(F.Zhang,2000),将其主要结果推广至半正定矩阵情形,进一步将矩阵Kronecker乘积和普通加号相交换,以及用矩阵Hadamard乘积分别代替结论中的Kronecker乘积和普通加号,得到一些新的矩阵不等式,用这些矩阵不等式又能导出若干新的和已有的矩阵不等式,例如著名的Haynsworth不等式。
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