边界型数学规划非线性多极边界元法

论文摘要

近年,四辊轧机支承辊-工作辊及板带耦合轧制模拟,作为轧制理论的前沿课题亟待攻关解决。但是,其任务因微机上难以完成大规模运算而被搁置。本文以研究定量解析轧制工程等的快速数值解析方法为目的,将多极展开法（简称FMM）融合于边界元法（简称BEM）,试图建立起适于大规模数值运算的快速多极边界元法（简称FM-BEM）的完整基础理论体系,并将FM-BEM应用到轧制工程等领域。在FM-BEM的具体实施过程中,寻求各种新形式的快速数值计算方法,使FM-BEM不断发展和得到补充,综合改造传统BEM的计算结构。本文共分六章。第1章绪论部分,分析了科学工程计算与计算方法的研究现状和发展趋势,概述了BEM和FMM的研究背景、发展历史、研究进展及现状,总结了其近年来取得的研究成果和发展方向,论述了FM-BEM的意义、研究进展和应用前景。第2章,构造了边界FM-BEM球面谐函数及数值计算公式,证明了边界FM-BEM基本定理。剖析FM-BEM的实现机制,给出具体的实施算法并开发FORTRAN源程序,建立起快速FM-BEM的理论框架,完善了三维结构体FMM-BEM的理论体系,从而为FM-BEM在轧制工程等领域中的进一步推广提供强有力的数学支撑。第3章,研究FM-BEM的数学机理,剖析了FMM与BEM结合的关键问题。分别推导了弹性问题、弹塑性问题和位势问题的FM-BEM基本解及相关核函数的计算公式,包括推导球坐标系下的偏导公式及与直角坐标的转化公式,并对基本解的等价性给出证明。第4章,研究Krylov子空间广义极小残值法（简称GMRES（m）算法）的机理并作理论推导,对工程用FM-BEM解的存在唯一性问题进行严格的理论分析和数学证明,为FM-BEM理论体系的形成及工程应用奠定数学基础。还提出改进算法收敛性的预条件GMRES（m）算法并对其正确性加以论证,使FM-BEM在轧制工程等领域中的应用前景更加广阔。第5章,对摩擦接触高度非线性问题,提出数学规划法求解的新思路,给出规划型三维弹性摩擦接触FM-BEM。建立了适于大规模快速计算的点-面摩擦接触最优化数学模型,给出优化GMRES（m）算法的求解策略,并开发研制FORTRAN源程序。通过数值实验证明,所给方法可显著提高计算效率,综合改造了传统BEM的计算结构。第6章,针对弹塑性迭代求解的繁杂费时问题,采用截断技术,提出一种基于FMM的规划-迭代型不完全广义极小残值法（简称IGMRES（m）算法）并建立了新算法的收敛性理论。数值实验和截断比较分析

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 科学工程计算与计算方法
• 1.1.1 计算是科学研究的第三种手段
• 1.1.2 科学计算的核心是计算方法
• 1.1.3 计算方法研究现状及发展趋势
• 1.2 现代数值计算方法概述
• 1.2.1 有限差分法
• 1.2.2 有限元法
• 1.2.3 边界元法
• 1.3 边界元法研究综述
• 1.3.1 边界元法研究背景
• 1.3.2 边界元法研究进展
• 1.3.3 边界元法的研究现状
• 1.4 多极展开法概述
• 1.4.1 多极展开法研究背景
• 1.4.2 多极展开法研究历史、进展及发展方向
• 1.5 快速多极边界元法及其研究进展
• 1.6 课题来源、内容和意义
• 第2章 多极边界元法理论框架
• 2.1 多极展开法
• 2.1.1 FMM 简介
• 2.1.2 FMM 相关定理
• 2.1.3 FMM 计算区域的划分原则
• 2.2 直角坐标系下的FM-BEM
• 2.2.1 FMM 计算公式
• 2.2.2 BEM 计算区域的划分
• 2.2.3 FM-BEM 影响系数的计算
• 2.3 边界FM-BEM 球面谐函数及其数值计算
• 2.3.1 球面谐函数及加法公式
• 2.3.2 球面谐函数的选取
• 2.3.3 球面谐函数的数值计算
• 2.4 边界FM-BEM 基本理论
• 2.4.1 边界FM-BEM 辅助定理
• 2.4.2 边界FM-BEM 基本定理
• 2.4.3 边界FM-BEM 与传统BEM 计算影响系数的比较
• 2.5 边界FM-BEM 算法设计与实现
• 2.5.1 边界FM-BEM 计算区域的形成
• 2.5.2 边界FM-BEM 算法设计及分析
• 2.5.3 计算流程
• 2.6 本章小结
• 第3章 多极边界元法基本解的构造
• 3.1 弹性问题FM-BEM 基本解
• 3.1.1 FMM 与弹性体边界积分方程的结合
• 3.1.2 基本解核函数分解的等价性
• 3.2 弹塑性问题FM-BEM 基本解
• 3.2.1 FMM 与弹塑性体边界积分方程的结合
• 3.2.2 基本解及相关核函数的分解
• 3.3 位势问题FM-BEM 基本解
• 3.3.1 FMM 与位势问题边界积分方程的结合
• 3.3.2 位势问题FM-BEM 基本解形式
• 3.4 球坐标系下的基本解形式
• 3.4.1 一阶偏导形式
• 3.4.2 二阶偏导形式
• 3.5 本章小结
• 第4 章 基于FMM 的GMRES（m）及其解的存在唯一性
• 4.1 Krylov 子空间简介
• 4.2 基于FMM 的Krylov 子空间GMRES（m）算法
• 4.2.1 Krylov 子空间GMRES（m）算法的基本理论
• 4.2.2 GMRES（m）算法的实现
• 4.2.3 基于FMM 的GMRES（m）算法及其性能
• 4.3 基于FMM 的GMRES（m）解的存在唯一性
• 4.3.1 向量与子空间理论
• 4.3.2 最小二乘问题所满足的代数方程
• 4.3.3 FM-BEM 解的存在唯一性定理
• 4.4 预条件GMRES（m）算法
• 4.4.1 方程组系数矩阵的等价形式
• 4.4.2 GMRES（m）算法的预条件方程组
• 4.5 本章小结
• 第5 章 规划型摩擦接触多极边界元法
• 5.1 摩擦接触理论
• 5.1.1 接触问题
• 5.1.2 接触条件
• 5.1.3 变形接触体
• 5.1.4 摩擦行为模拟
• 5.2 点-面接触判别模式
• 5.3 摩擦接触非线性分析的数学规划
• 5.3.1 点-面摩擦接触分析
• 5.3.2 点-面摩擦接触最优化数学模型
• 5.3.3 优化的GMRES（m）算法
• 5.3.4 摩擦接触迭代计算流程
• 5.4 数值实验
• 5.4.1 力载荷固定接触区接触
• 5.4.2 力载荷变接触区接触
• 5.4.3 位移载荷变接触区接触
• 5.5 本章小结
• 第6 章 规划-迭代型弹塑性摩擦接触多极边界元法
• 6.1 问题的提出
• 6.2 基于FMM 的规划-迭代型IGMRES（m）算法及其收敛性
• 6.2.1 基于FMM 的IGMRES（m）算法
• 6.2.2 IGMRES（m）算法的收敛性理论
• 6.3 数值试验
• 6.4 本章小结
• 结论
• 附录
• 参考文献
• 攻读博士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢
• 作者简介