关于Marcinkiewicz型算子及其交换子的某些估计

论文摘要

众所周知，Marcinkiewicz积分在调和分析中扮演着重要角色，Marcinkiewicz[1]给出了μ（f）（x）的定义：μ（f）（x）=(intrgral form n=[0,2π]（F（x+t）+F（x-t）-2F（x））/t3dt1/2,x∈[0, 2π],这里F（x）=integral from n=[0,x] f（t）dt. 1958年，Stein引进了高维的Marcinkiewicz积分算子μΩ，其定义为：μΩf（x）=intrgral from n=0 to∞|integral from to |y|≤t f（x-y）,Ω（y）/(|y|n-1)dy|2dt/t3<sup>1/2,for f∈Lloc1（Rn）.Stein[2]证明了如果对某一0＜α≤1，Ω∈Lipα(Sn-1)，那么μΩ在Lp（Rn）（1＜P≤2）上是有界的且是弱（1，1）的，1990年，Torchinsky和Wang Shilin[13]引入了Marcinkiewicz积分交换子的概念，设b∈Lloc（Rn），则Marcinkiewicz积分交换子μΩ，b定义如下：μΩ,b（f）（x）=intrgral from n=0 to∞|FΩ,b,t（x）|2dt/t3)1/2,其中FΩ, b, t（x）=integral from n=|x-y|≤t（Ω（x-y））/(|x-y|n-1)（b（x）-b（y））f（y）dy.当b（x）∈BMO（Rn）时，文[13]证明了如果Ω∈Lipα(Sn-1)（0＜α≤1），那么对于1＜p＜∞，w∈Ap（Munckenhoupt权函数类），μΩ，b在Lp（w）上有界。在第一章中，我们有讨论了一类由BMO（Rn）函数生成的带粗糙核的Marc-inkiewicz积分交换子在加权Herz空间上的有界性问题，其中的粗糙核满足Ω∈Lr(Sn-1), 1＜r≤∞，且integral from n=Sn-1Ω（x）dσ（x）=0.在第二章中，我们有讨论了一类由BMO（Rn）函数生成的高维的Marcinki-ewicz积分交换子在Herz空间上的有界性问题，其中Ω∈L（logL）m+1(Sn-1)。在第三章中，我们讨论了Marcinkiewicz积分交换子的端点估计，考虑了其在BMOp（Rn）（BMOp（Rn）=BMO（Rn）∩Lp（Rn）（1＜p＜∞））上的有界性问题。在第四章中，我们讨论了Marcinkiewicz振荡积分算子在Lp（Rn）（2≤p＜∞）上的有界性问题，并且进一步研究了其在Hardy空间上的端点估计问题。

论文目录

• Chinese Abstract
• English Abstract
• 1 Boundedness of Marcinkiewicz Integral Commutators with Rough Kernels on the Weighted Herz Spaces
• 1.1 Introduction
• 1.2 Main theorem and proof
• 2 A note on commutator of Marcinkiewicz integral
• 2.1 Introduction
• 2.2 Proof of theorem 2.1.1
• 3 An Endpoint Estimate for the Commutator of Marcinkiewicz Integrals
• 3.1 Introduction
• 3.2 Preliminaries and Main Result
• 3.3 The proof of Theorem 3.2.1
• 4 Boundedness of the Marcinkiewicz oscillatory integrals on Hardy spaces
• 4.1 Introduction
• 4.2 Notations and definitions
• 4.3 Proof of Proposition 4.2.1
• Bibliography
• Papers while studying in the Master program
• Acknowledgements