湍流壳模型的非线性动力学

论文摘要

湍流的阵发性质是湍流运动的本质特征,是湍流理论研究的中心问题之一。上世纪七十年代以来,非线性动力学方法为考虑湍流问题提供了全新的视角。湍流和动力学系统的分岔、混沌、奇怪吸引子等概念有密切的关系。通过低维动力系统的研究,已经找到多种过渡到混沌吸引子的道路,比较著名的有Ruelle和Takens的Hopf分岔方式,Feigenbaum的倍周期分岔方式,以及Pomeanu和Menneville的阵发相变方式。现在人们普遍认为,湍流的发生与非线性系统中动力学的混沌吸引子的出现有密切联系。本论文研究Gledzer-Ohkitani-Yamada湍流壳模型的非线性动力学。在22个壳GOY模型的数值模拟中,通过改变参数δ我们发现:惯性子区中各个壳阵发轨道的位相在其速度场相空间中的随机转动漂移、反转漂移和振荡漂移随壳数具有周期三的特点。与此对应,惯性子区中各个壳不稳定周期轨道部分的方位形成随机转动、反转和锁定的周期三级串。通过计算不稳定周期时间序列长度的统计平均值,拟合得到该平均值关于参数δ的临界标度律。我们计算了阵发湍流时间序列速度结构函数的相对标度指数,这个标度指数与kolmogorov线性标度律非常类似。此外针对阵发湍流中的不同时间序列,分别计算了不稳定周期时间序列部分和阵发时间序列部的结构函数的相对标度指数。结果表明阵发湍流中也具有充分发展湍流的速度结构函数标度律的非线性标度特征,它是由阵发时间序列中最强阵发和最弱阵发的部分贡献的。通过改变外力参数f0和耦合参数δ,研究GOY模型在f0—δ参数空间中的动力学行为。我们通过临界标度指数,稳定和不稳定周期轨道对和Liyapunov指数等三个方面的计算确认了阵发混沌的相变类型为鞍结点分岔。并且给出了f0—δ参数空间的相图,该相图将参数空间划分为周期、准周期和阵发混沌区域。通过改变泰勒微尺度雷诺数,我们计算得出速度结构函数相对标度指数随泰勒微尺度雷诺数的变化不大,并指出了速度结构函数相对标度指数的非线性标度律的参数范围。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 引言
• 第一章 湍流的唯象理论与壳模型
• 1.1 Navier—Stokes方程和湍流的基本性质
• 1.1.1 Navier—Stokes方程
• 1.1.2 均匀各向同性湍流
• 1.1.3 各向同性湍流中的特征尺度
• 1.1.4 Kolmogorov 1941论
• 1.2 多重标度与多重分形
• 1.2.1 反常标度
• 1.2.2 β模型
• 1.2.3 多重分形与多重标度
• 1.3 壳模型动力学简介
• 1.3.1 Gledzer-Ohkitani-Yamada（GOY）壳模型
• 1.3.2 GOY模型非线性动力学的阵发特征
• 1.3.3 类GOY螺旋流壳模型
• 1.3.4 Sabra壳模型
• 参考文献
• 第二章 壳模型阵发湍流的随机级串和两种轨道的标度律
• 2.1 相空间运动轨道的特征
• 2.1.1 相空间稳定轨道的特征
• 2.1.2 阵发轨道的随机漂移和不稳定周期轨道的方位级串
• 2.2 阵发相变的临界标度律
• 2.3 阵发轨道扩展自相似的非线性标度律
• 2.3.1 扩展自相似与结构函数形式
• 2.3.2 三种时间序列的扩展自相似
• 2.3.3 阵发湍流的整体扩展自相似
• 2.3.4 阵发扩展自相似和不稳定周期扩展自相似
• 2.4 结论
• 参考文献
• 第三章 壳模型中湍流的分岔相图与标度律
• 3.1 模型参数
• 3.2 临界标度指数和分岔点的确定
• 3.2.1 阵发混沌的分岔类型
• 3.2.2 随外力减小由阵发混沌过渡到周期的分岔点集
• 0与参数δ的分岔相图划分阵发区与非阵发区'>3.3 外力f₀与参数δ的分岔相图划分阵发区与非阵发区
• 0-δ分岔图'>3.3.1 f₀-δ分岔图
• 3.3.2 周期和准周期相空间图的举例
• 3.4 结构函数标度律随雷诺数的变化
• 3.4.1 模型参数随外力的变化
• 3.4.2 结构函数标度律随雷诺数的变化
• 3.5 结论
• 参考文献
• 附录 微分方程的数值解法
• 1 Slaved-Adam-Bashforth方法
• 2 Runge-Kutta方法
• 发表文章目录
• 致谢