论文摘要
在本文中,我们将研究如下2m阶微分方程Neumann边值问题解的存在性和多解性：其中为2m阶线性微分算子,ai∈R1,i=1,2,…,m,f∈C1（[0,1]×R1,R1）.本文包括三章：第一章为引言,第二章将给出证明主要结论所需的预备知识及一些必要的引理和定理,第三章我们给出了当f满足一定条件时,边值问题（1.1）的解,多解的存在性结果,并给出证明.在[1]中,作者运用强单调映像原理和临界点理论,得到边值问题（1.1）的各种解的存在性结果.在[2]中,作者通过不动点指数理论和Morse理论研究了四阶Neumann边值问题正解和变号解的存在性和多解性.同时文[3]通过运用Morse理论,临界点理论,不动点指数理论和Leggett-Williams三解定理研究了带两个参数和变系数的四阶Neumann边值问题.此外,在[4]的启发下,也出现了应用环绕定理和临界点理论研究高阶含参微分方程Neumann边值问题解的存在性的文章.在此基础上,我们进一步研究边值问题（1.1）.本文首先将Neumann边值问题（1.1）转化为积分方程,然后运用平方根算子和Morse理论,给f加上适当的条件,给出边值问题（1.1）解的存在性和多解性定理.与以往这方面的结果相比,定理3.1在较弱的条件下给出了边值问题（1.1）至少有一个非平凡解的结果,而定理3.2则在方法上作出改进,直接用Morse理论证明了问题（1.1）至少有一个非平凡解.定理3.3,定理3.4分别给出边值问题（1.1）至少有三个解,至少有n对不同的解的结果,这都是新的结论.最后定理3.5也在与以往结果相比条件减弱的情况下,直接用Morse理论证明了问题（1.1）有无穷多个解.这些就是本文的创新之处.我们将线性微分算子L的特征值按照从小到大的顺序进行排列,记为λ0<λ1<λ2<…,其中是微分算子L的特征多项式.在本文中假设下面的条件始终成立：下面我们对本文的主要结论阐述如下：定理3.1假设f满足条件（f1）f（t,0）=0,t∈[0,1]；（f2）一致成立,其中c>-p（k2π2）,k∈（f3）存在μ∈（0,1／2）,R>0,使得对t∈[0,1],|x|≥R,都有0<F（t,x）≤μxf（t,x）+（μ-1／2）cx2.则边值问题（1.1）至少有一个非平凡解.定理3.1的条件与[1,定理4.13,p.973]的条件相比,（f2）比（A2）减弱,而且更简单.定理3.2假设f满足条件（f1）,（f3）和（f4）存在n∈N0,使得λn<fx’（t,0）<λn+1,t∈[0,1].则边值问题（1.1）至少有一个非平凡解.定理3.2直接用Morse理论给出证明,改进了以往采用已经证明的结论进行间接证明的方法.定理3.3假设f满足（f1）,（f4）和（f5）存在a,b∈R1且a<λ0／2,使得F（t,x）≤ax2+b,（t,x）∈[0,1]×R1.则边值问题（1.1）至少有三个解.定理3.4假设f满足（f5）和（f6）f（t,-x）=-f（t,x）,（t,x）∈[0,1]×R1；（f7）存在ε>0,使得F（t,x）≥（（λn+ε）／2）x2,（t,x）∈[0,1]×[-δ,δ]则边值问题（1.1）至少有n对不同的解.定理3.5若f满足（f3）和（f6）,则边值问题（1.1）有无穷多个解.与[1,定理4.14,p.974]的条件相比,定理3.5的条件中去掉了f需要满足和对t∈[0,1]一致成立的条件,并直接用Morse理论给出证明.