MHD数值模拟中的ADER数值方法

论文摘要

日地物理研究涵盖了日冕、行星际、磁层、电离层等物理性质不同的空间区域,空间天气爆发活动等灾害性事件是日地物理研究的主要内容之一,这些空间物理问题具有尺度大、物理过程复杂等特点,基于磁流体力学（MHD）方程组的数值模拟正是研究这些复杂日地物理过程的一个有力工具,它可以弥补观测相对缺乏和过于局限的缺点,已经被广泛应用于各种空间物理问题的研究中。因此,磁流体力学（MHD）方程组的数值模拟方法研究是一个重要基础课题。本文引用一种新颖的数值格式——任意精度导数黎曼问题（ADER）数值方法分别求解了一维和二维的理想MHD方程组。ADER数值格式是一个基于有限体积积分的具有高阶精度的数值格式,在间断面处对时间进行Taylor展开,然后分别求解由展开式中的各个部分所构造的黎曼问题,在本论文中采用HLL数值格式来求解这些黎曼问题,通过这样的方法可以很容易得到空间和时间上的任意阶精度。与常见的数值格式相比,ADER数值方法主要有以下特点:用所求量的关于空间变量的高阶表达式来替代经典黎曼问题中的分段常数分布函数;用间断面处广义黎曼问题的解来替代经典分段常数黎曼问题解;数值流通量是通过对广义黎曼问题在间断面处的解进行时间积分得到的。在一维理想MHD数值模拟中,本文通过Brio-Wu和Dai-Woodward激波管问题两个算例,结果发现ADER数值方法可以抑制HLL数值格式在CFL数很大情况下所产生的震荡,得到很好的无震荡结果。在二维理想MHD数值模拟中,本文用ADER数值方法计算了vortex问题、二维黎曼问题和爆炸波问题三个算例,着重研究了这三个算例中磁场散度控制情况。结果发现,在没有采用额外的磁场散度处理方法的情况下,ADER数值方法可以很好地模拟这些算例,得到正确的结果。这些研究有望对太阳风数值模式的算法研究起到一定的作用。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 1.1 空间等离子体研究方法
• 1.1.1 单粒子处理方法
• 1.1.2 流体处理方法
• 1.1.3 统计处理方法
• 1.2 MHD基本方程
• 1.3 MHD数值格式简介
• 1.3.1 Godunov差分格式
• 1.3.2 Roe差分格式
• 1.3.3 HLL差分格式
• 1.3.4 其他差分格式
• 1.4 保持磁场散度为零的方法
• 1.4.1 Powell八波模型
• 1.4.2 Constrained Transport（CT）方法
• 1.4.3 投影法
• 1.4.4 GLM-MHD方法
• 1.5 本文章节安排
• 第二章 导数黎曼问题（DRP）
• 2.1 导数黎曼问题简介
• 2.2 导数黎曼问题的数学描述
• 2.3 求解方法
• 2.3.1 引导项
• 2.3.2 高阶导数项
• 2.3.3 导出结果
• 2.4 本章小结
• 第三章 MHD方程中的ADER数值方法
• 3.1 ADER数值方法介绍
• 3.2 一维问题的求解方法
• 3.2.1 控制方程
• 3.2.2 ADER数值方法
• 3.3 二维问题的求解方法
• 3.3.1 控制方程
• 3.3.2 ADER数值方法
• 3.4 本章小结
• 第四章 基于ADER方法的理想MHD数值模拟
• 4.1 一维MHD数值模拟
• 4.1.1 Brio-Wu激波管问题
• 4.1.2 Dai-Woodward激波管问题
• 4.2 二维MHD数值模拟
• 4.2.1 Orszag-Tang vortex问题
• 4.2.2 二维黎曼问题
• 4.2.3 爆炸波问题
• 4.3 本章小结
• 第五章 总结与展望
• 5.1 主要工作总结
• 5.2 今后工作展望
• 附录A Jcobian矩阵
• 附录B 高斯（Gaussian）数值积分
• 参考文献
• 发表文章目录
• 致谢