非线性数学物理方程反系数问题研究

论文摘要

本文研究了几类非线性数学物理方程反系数问题,利用变分的方法分析了几种方程弱解的存在性与唯一性,迭代近似解的收敛性.同时利用反问题的几种不同分析方法,对几类反系数问题进行了探讨,在合适的容许系数集中得到了反系数问题拟解的存在性.在一定条件下得到了反系数问题解的存在性、唯一性和稳定性等结论.第一章主要介绍数学物理方程反问题的概念及研究意义Sobolev空间、非线性分析有关知识.第二章研究了一类非线性椭圆型H-半变分不等式的反系数问题.其中属于给定容许集的未知系数依赖于椭圆型H-半变分不等式解的梯度.对应于容许集的给定系数,首先证明了非线性椭圆型H-半变分不等式的解的存在性、唯一性.然后,给出了这类反系数问题拟解的存在性.第三章主要讨论了抛物型方程中的二种类型反系数问题,在一定条件下,获得了未知系数解的存在性、唯一性及稳定性结论.第四章探讨了一类由边界测量数据τ0和β,确定未知系数k=k（ξ2）的反系数问题,利用单调位势算子理论和Browder-Minty定理,我们证明了正问题弱解的存在唯一性,并在合适的容许系数集中得到了反系数问题拟解的存在性.第五章针对如下的一般非线性反问题F（x）=y,给出了一种新的Newton-Landweber类型的迭代解法,并分析了迭代法的收敛性.第六章利用变分方法和单调算子理论,研究了几类具非线性边界条件问题弱解的存在性与唯一性.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 数学物理方程反问题
• 1.1.1 数学物理方程反问题的研究意义及研究状况
• 1.1.2 反问题与不适定问题的基本概念
• 1.1.3 反问题的分类
• 1.1.4 研究反问题的理论方法和数值方法
• 1.1.5 反问题的应用领域举例
• 1.1.6 反问题实例
• 1.2 预备知识
• 1.2.1 几个常用不等式
• 1.2.2 Sobolev空间
• 1.2.3 非线性分析
• 1.3 本文的主要工作
• 第二章 一类非线性椭圆型H-半变分不等式的反系数问题
• 2.1 引言
• 2.2 基本概念和术语
• 2.3 主要结果
• 第三章 抛物型方程的反系数问题研究
• 3.1 引言
• 3.2 主系数反问题求解
• 3.2.1 方程及基本假设
• 3.2.2 正问题弱解的存在性与唯一性
• 3.2.3 反系数问题解的存在性
• 3.3 热传导方程的反系数问题
• 3.3.1 方程及基本假设
• 3.3.2 最优控制问题
• 3.3.3 最优控制问题解的唯一性
• 3.3.4 解的稳定性研究
• 第四章 一类反系数问题研究
• 4.1 引言
• 4.2 基本的引理和定理
• 4.3 反系数问题拟解的存在性
• 第五章 一般非线性反问题的LANDWEBER迭代解法
• 5.1 引言
• 5.2 收敛性分析
• 第六章 非线性边界条件问题弱解的存在性与唯一性研究
• 6.1 数学背景
• 6.2 一类非线性边界值问题弱解的存在性与唯一性研究
• 6.2.1 几个基本引理和弱解存在性定理
• 6.2.2 Kacanov迭代序列的收敛性
• 6.3 一类拟线性椭圆方程弱解的存在性研究
• 6.3.1 几个基本引理
• 6.3.2 结论
• 6.4 一类拟线性椭圆方程弱解的存在性研究
• 6.4.1 基础知识
• 6.4.2 几个引理
• 6.4.3 结论
• 参考文献
• 附录A 攻读学位期间所完成的学术论文目录
• 附录B 攻读学位期间参与的项目
• 致谢