论文摘要
微分形式作为一类具有反对称性的张量场，是对多元函数的一种推广。这类张量场在物理学、力学、工程科学及数学中有着广泛的应用。例如经典分析中的梯度、散度与旋度以及Green、Gauss、Stokes等定理均可借助于微分形式统一表示出来。在函数中，调和方程作为一种特殊的偏微分方程，以势函数的形式深刻地描述了物理中各种场的性质。而微分形式中也有一类特殊的调和方程，即（?）-调和方程，它是许多经典调和方程如p-调和方程和拉普拉斯方程等的推广。正是由于微分形式以及微分形式（?）-调和方程具有如此广泛的应用价值，引起了学者们极大的研究兴趣。近十几年来，关于作用在微分形式上算子的Lp-范数不等式取得了丰硕的成果。然而把作为对Lp-空间推广的Orlicz空间中的基本理论应用在微分形式不等式的研究却仍然有待发展。本文主要研究微分形式中几类重要的算子如外微分算子d、同伦算子T、投影算子H、Green算子G以及位势算子P组成的复合算子T o d o H、GοT、 GοP与几类特殊的Young函数有关的积分和范数估计不等式。然后，又分别从这些积分和范数不等式获得了其局部加权不等式和在L?（μ）-平均域上的全局形式。最后，研究了本文中定义的作用在微分形式上的分次积分算子Fα在满足特定的Orlicz条件(即Lα-（?）-Hrmander条件)下的相关不等式。具体来讲，本文作了以下几个方面的研究工作：1.在毕卉定义的位势算子P的基础上，进一步研究了位势算子P与Green算子G组成的复合算子GοP的Lp范数不等式及其局部赋权形式，并由此给出算子GoP的各种Lipschtz范数和BMO范数不等式及其局部赋权形式。考虑到Lp（log L）α-范数是比Lp范数更为复杂的一种具体的Orlicz范数，我们又分别用两种不同的方法研究了复合算子GοT的Lp（log L）α-范数不等式，并进一步得到了其局部赋权形式及其在L （μ）-平均域上的全局形式。2.研究了各种复合算子与两类抽象的Young函数（即G（p,q,C）-类Young函数和（?）p-类Young函数）有关的积分和范数不等式。在研究复合算子T od o H与G（p,q,C）-类Young函数有关的赋权的积分不等式时，充分利用了G（p,q,C）-类Young函数的性质。而在研究复合算子GοP与G（p,q,C）-类Young函数有关的积分不等式时，不仅要利用G（p,q,C）-类Young函数的性质，还要用到分类讨论与划归转化的思想。在研究算子GοT与（?）p-类Young函数有关的Lebesgue平均测度意义下的Orlicz的范数不等式时，利用了Orlicz空间理论里的重要范数不等式。紧接着利用了Orlicz空间中的函数在倍权的Young函数作用下的Lebesgue平均测度积分与Orlicz范数存在某种比较关系，得到了算子GοT与（?）p-类Young函数有关的Lebesgue平均测度积分不等式，并且利用了（?）-调和方程的特解进行了数值估计以及获得了在L （μ）-平均域上全局的形式。3.定义了一种作用在微分形式上且其核函数满足Sα-条件的分次积分算子Fα.在此基础上，如果该算子还满足特殊的Orlicz条件(即Lα-（?）-Hrmander条件)，利用了基本不等式证明了分次积分算子Fα的Coifman型不等式，并进一步证明了它的Poincare′不等式及其在Lp（m）-平均域上的全局的形式以及Lipschitz范数与BMO范数不等式。最后，给出了两个关于分次积分算子Fα的Coifman型不等式的具体应用。