Poisson代数结构的分析与研究

论文摘要

代数形变理论由Gerstenhaber引入，接着又被Gerstenhaber和Schack推广到从小范畴到代数，双代数，Hopf代数的反变函子，最近，Flato et al。应用到具有结合代数结构和李结构的代数上，在这种代数中，李括号以结合代数结构的导子形式起作用，即Poisson代数（其中结合运算是交换的），他们考虑序对（A，L），由结合代数A，李代数L，和从L到A的导子李代数的李同态μ组成。注意，L作为向量空间不一定与A相同。他们称之为“Leibniz对”，并考虑同时形变三元组的问题。当L等同于A时，就是非交换Poisson代数。对于有限维的情形，对于它的一个重要的例子Mn（k），它的结构是标准的：{-，-}=p[-，-]。我使用两种方法给出了具体证明，并进一步明确了p的取值，根据定理的证明，又讨论了它的满足何种条件的子代数结构也是标准的。接着我们可以看到，如果A作为结合代数是半单的，则它是标准的。另一方面，如果作为李代数是半单的，则它的结合积是平凡的，和李结构是约化时的具体刻画。最后我给出了有限维非交换Poisson代数的结构定理。Poisson代数在关于量子代数的很多数学分支中起着重要的作用，非交换Poisson代数在非交换几何和数学物理中被广泛的研究。很多量子群被从带有Poisson括号的多项式环构成的Poisson代数中构造出来，所以研究斜多项式环的Poisson结构具有一定意义。在介绍多项式环的Poisson结构是怎样定义的和它构成Poisson代数的充要条件后，我进一步讨论了斜多项式环上的Poisson代数结构问题。进一步考虑，Poisson代数的Poisson包络代数，是否存在，能构造出多少?斜包络代数和Poisson包络代数有什么样的关系，在这一节，将研究斜包络代数和泛性质并指出，每一个Poisson包络代数是一斜包络代数的同态像。最后介绍了Poisson包络代数的Hopf代数结构。根据已有的结果，在这里给出了详细说明。最后一章通过A的线性变换类来介绍和刻画给定结合代数A上的内Poisson代数结构，引入了一种构造非交换Poisson结构的方法。结合k（?）不可分解李理想的分解，并应用这些方法到有限维路代数k（?）上，可以分类所有的k（?）上的内Poisson结构。在前面的各部分我都举出了一些简单的例子，可以更好的帮助我们理解这些已有的重要定理。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 有限维非交换Poisson代数的结构
• §1.1 非交换Poisson代数
• §1.2 有限维非交换Poisson代数的结构定理
• 第二章 Poisson多项式环的结构
• §2.1 Poisson多项式环的结构
• §2.2 斜多项式环上的一种Poisson代数结构
• 第三章 Poisson包络代数及其Hopf代数结构
• §3.1 Poisson包络代数
• §3.2 斜Poisson包络代数和Poisson包络代数的关系
• §3.3 包络代数的Hopf结构
• 第四章 Quiver Poisson代数
• §4.1 引言
• §4.2 有限维路代数上的内Poisson代数结构
• 参考文献
• 致谢