论文摘要
本文研究了算子逼近论中的如下问题:Baskakov算子线性组合的点态同时逼近,Bernstein算子和它的Kantorovich积分变形算子的线性组合在空间C[0,1]和Lp[0,1]（1≤p≤∞）上的饱和逼近阶的特征刻划和强Steckin型不等式,局部化的Bernstein算子、Szasz-Mirakjan算子和Baskakov算子的收敛性和逼近阶。另外,本文还研究了Herz型Hardy空间上乘子算子的Jackson型不等式。本文由八章组成。第一章介绍了本文涉及的研究领域历史、研究内容的由来以及本文的研究内容。在第二章中,我们研究了Baskakov算子线性组合各阶导数的逼近阶与所逼近函数各阶导数的光滑性之间的关系,采用添加辅助算子消去低阶矩的方法,建立了正定理和逼近等价性定理。同时,我们还研究了在r≥2和0≤λ＜1—1/r情形下,Baskakov算子线性组合的逼近阶与函数光滑性的关系,建立了其正定理和逼近等价性定理,从而彻底解决了Baskakov算子线性组合的非饱和逼近阶特征刻划问题。在第三章中,我们构造了一种新的K-泛函,精确地给出了Bernstein型算子矩的展开表达式。在此基础上,研究了Bernstein型算子线性组合一致逼近和Lp逼近的饱和逼近阶与所逼近函数光滑性之间的关系,并采用代数多项式的最佳逼近方法,建立了Bernstein型算子线性组合饱和状态下的逼近等价性定理,解决了其饱和逼近阶特征刻划问题。同时,进一步研究了这种新的K-泛函与周知的Ditzian-Totik光滑模之间的关系,借助于最佳逼近多项式的特征,在C[0,1],Lp[0,1]（1≤p＜∞）和L∞[0,1]空间上分别给出了这种新的K-泛函与Ditzian-Totik光滑模的等价性。在第三章基础上,第四章研究了Bernstein型算子线性组合在饱和状态下的逼近逆问题,建立了其强Steckin型不等式。利用已建立的新的K-泛函与Ditzian-Totik光滑模的等价关系和强Steckin型不等式,并采用代数多项式的最佳逼近方法,建立了Bernstein型算子线性组合逼近的下界估计,彻底解决了Bernstein型算子线性组合一致逼近和Lp逼近的逼近阶特征刻划问题。为减少在应用中的计算量以及避免不必要的数值采集,在第五章中我们构造了Bernstein算子的局部化变形算子,改进了由V.V.Petrov给出的概率论中的Berry-Esseen定理。借助于修正的Berry-Esseen定理,我们研究了这种新的局部化Bernstein算子的收敛性,给出了其逼近阶。并给出了这种局部化Bernstein算子收敛到被逼近函数本身的充分必要条件。在第六章中,我们改进了概率论中的有关中心极限定理,获得了点态的一致估计。借助于这种新的点态一致估计,采用新的分析方法,给出了局部化的Szasz-Mirakjan算子收敛性定理和逼近阶。在该章中,我们还建立了Baskakov算子核的一致性估计,获得了该局部化算子相应的收敛性定理和逼近阶。在第七章中,为了在应用上进一步减少计算量以及避免不必要的数值采集,我们分别构造了Szasz-Mirakjan算子、Baskakov算子另一种形式的新的局部化算子。我们采用数学分析的方法,对于这种新的局部化Szasz-Mirakjan算子分别给出了不同状态下的点态逼近定理。同时,我们采用概率论的方法,建立了Baskakov算子核的另一种形式的一致性估计。借助于新获得的一致性估计,对于这种新的局部化Baskakov算子建立了点态逼近定理。在第八章中,我们首次研究了Herz型Hardy空间上的一些逼近论问题,在此空间上建立了关于乘子算子的Jackson型不等式并给出其应用.这些不等式可以应用于Fourier分析中的一些重要算子,如大于临界阶的Bochner-Riesz算子,广义Bochner-Riesz平均算子和广义Abel-Poission算子。
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