分数阶微积分运算器的设计与应用

分数阶微积分运算器的设计与应用

论文摘要

分数阶微积分自1695年由Leibniz与Hospital提出以来,到现在已经有三百多年历史,它把传统整数阶微积分的阶次推广到分数甚至复数领域,因而分数阶微积分极大地拓展了传统微积分的概念,但由于计算复杂度比较高的原因,在其产生的最初完全局限于理论研究领域,且主要被数学家作为一种纯数学理论来研究。近年来随着研究的深入,分数阶微积分正逐渐应用于多个领域中:控制理论、信号处理、机械力学、电子学、地震信息处理、分形理论、电磁场理论等。特别是在信息科学领域中,一些新颖的应用被相继地提出,使得精确的实现实时分数阶微积分运算,成为目前研究的热点。本文是作者参与重庆市自然科学基金项目“分数阶控制系统理论与技术研究”(No. CSTC,2004BB2165)和重庆市教委自然科学基金项目“非整数阶系统控制模型及性能研究”(No: KJ060506)期间,对于分数阶微积分运算的实现及应用做出的一些初步的探讨,获得了一些研究成果。主要内容有:1、较为系统地分析和总结了分数阶微积分的基本理论,包括分数阶微积分运算的提出与发展历程、研究和应用现状、具有的性质、已提出的物理意义和几何意义解释、分数阶微分方程概念等等,研究了基于广义Laplace变换求取部分函数的分数阶微积分精确解的方案。2、将基于Riemann-Liouville定义形式的分数阶微积分算法进行推广,得到用于处理离散无限长序列的快速实时算法,提出基于DSP技术的滤波器实现方案,仿真结果表明上述方法是有效的。3、利用已经构造好的分数阶微积分器,研究了其在分数阶微分方程求解、分数阶线性系统性能研究等方面的应用。

论文目录

  • 摘要
  • ABSTRACT
  • 目录
  • 第一章 绪论
  • 1.1 分数阶微积分发展概述
  • 1.2 分数阶微积分的研究和应用现状以及所面临的问题
  • 1.3 论文的研究内容、方法和意义
  • 1.4 论文章节安排
  • 1.5 论文中使用的一些数学记号
  • 第二章 分数阶微积分的基本理论
  • 2.1 整数阶微积分的相关理论
  • 2.2 分数阶微积分的定义
  • 2.2.1 分数阶微积分的提出
  • 2.2.2 特殊函数及其性质
  • 2.2.3 Riemann-Liouville(RL)分数阶微积分定义
  • 2.2.4 Caputo 分数阶微积分定义
  • 2.2.5 Cauchy 分数阶微积分定义
  • 2.3 各种定义之间的转换关系
  • 2.4 分数阶微积分的性质
  • 2.5 分数阶微积分的一些应用
  • 2.5.1 分数阶微分方程
  • 2.5.2 分数阶微积分在其他方面的应用
  • 第三章 已有的分数阶微积分计算方法
  • 3.1 理想的分数阶微积分数字滤波器
  • 3.2 已有的分数阶微积分数字滤波器设计方法
  • 3.2.1 有理分式级连法设计 IIR 分数阶微积分数字滤波器
  • 3.2.2 基于 Taylor 级数展开法设计 FIR 分数阶微积分数字滤波器.
  • 3.2.3 Tustin 算子 Muir 迭代方法设计 IIR 分数阶微积分滤波器
  • 3.3 利用FOURIER 级数计算函数的分数阶微积分
  • 3.4 基于广义LAPLACE 变换求取已知函数分数阶微积分的方案
  • 3.4.1 利用广义Laplace 变换法求取分数阶微积分
  • 3.4.2 广义Laplace 变换求取分数阶微积分的局限性
  • 第四章 分数阶微积分数字滤波器的设计方案
  • 4.1 基于RIEMANN-LIOUVILLE(RL)定义的滤波器算法
  • 4.1.1 算法的理论推导过程及仿真实现
  • 4.1.2 算法的优缺点
  • 4.2 与已有分数阶微积分运算数字滤波器的比较
  • 4.3 本章总结
  • 第五章 分数阶微积分运算滤波器的应用
  • 5.1 分数阶微积分应用概况
  • 5.2 分数阶微积分运算应用于分数阶微分方程的求解
  • 5.3 分数阶微积分滤波器应用于控制系统的性能分析
  • 5.4 本章总结
  • 第六章 总结与展望
  • 6.1 全文总结
  • 6.2 未来展望
  • 攻读硕士学位期间参与的科研项目与论文发表情况
  • 致谢
  • 参考文献
  • 附录
  • 相关论文文献

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