论文题目: 曲线、曲面μ基的计算及其应用
论文类型: 博士论文
论文专业: 计算数学
作者: 申立勇
导师: 冯玉瑜,陈发来
关键词: 有理参数曲线,曲面,隐式化,动曲线,曲面,多项式矩阵,基点,降阶,逼近
文献来源: 中国科学技术大学
发表年度: 2005
论文摘要: 参数形式和隐式形式是表示曲线和曲面的两种主要方式，它们在计算机辅助几何设计，计算机图形学以及机械、建筑乃至动画等众多领域中有着广泛的应用。这两种表示方式有各自的优点和不足之处，在几何造型领域中，人们通常会根据具体的问题选择其中一个表示方式，因而曲线／曲面两种不同表示形式之间的相互转换成为人们所关心的问题，即参数表示隐式化和隐式表示参数化问题。在理论上已经证明了任何参数表示的曲线／曲面都一定可以转化为隐式表示。曲线／曲面隐式化的主要方法有结式方法、Gr(?)bner基方法、吴方法、插值方法等。但这些方法在有效性、通用性、复杂度等方面都有各自的问题。近年来提出的一种崭新的动曲线／曲面隐式化方法以及从它发展起来的μ基理论显示出了相当的优越性。从曲线／曲面的μ基出发，我们可以方便地得到原曲线／曲面的参数表示，也可以得到曲线／曲面的隐式表示，即μ基构建了曲线／曲面的参数方程和隐式方程之间的联接桥梁。 本文目的是在已有研究成果的基础上，以迅速发展的计算代数几何为研究工具，对动曲线／曲面方法以及μ基理论展开研究工作，特别是致力于构造计算μ基的快速通用的算法。 我们首先回顾了曲线／曲面设计的历史和研究方向，重点介绍了曲线／曲面参数化和隐式化的一些工作。在隐式化方法中我们介绍了动曲线／曲面方法和μ基方法并系统地给出μ基的定义和性质。平面曲线和直纹面μ基理论相对完善，也有相应的算法。 在第三章中，我们根据多项式矩阵分解的理论给出了曲线／曲面μ基存在性的一个构造性证明，并首次设计了适合一般曲线／曲面的μ基算法。新算法的本质是计算曲线／曲面的Syzygy模的基，因而不仅可以计算动直线／动平面模的基，也可以计算动曲线／动曲面模的基。该算法不但能够计算一般曲面的μ基，在计算曲线的μ基时也比已有的算法效率更高。 在第四章中我们研究了空间参数曲线的μ基及其性质。根据多项式矩阵分解方法，我们给出了三维空间参数曲线的动平面模基的通用表示形式，进而得到曲线的μ基。空间曲线的隐式化要比平面曲线隐式化复杂得多，也更有应用价值。针对一类三维空间曲线，我们得到了简洁的隐式化方法。进一步我们还设计了一些特别的算例，这些算例将有助于一般隐式化方法的设计。 虽然我们设计了一般曲线／曲面的μ基算法，但是算法中涉及多项式矩阵的运算，因而有时计算效率不高。在用μ基方法进行曲面隐式化时，目前的算法还需要计算Gr(?)bner基，导致计算复杂度过高。本文第五章从低次曲面开始，深入分析了具有两个基点的二次曲面和具有六个基点的非奇异三次曲面的μ基形式。我们得到了这两种曲面的μ基的一些良好性质，并且设计了更为直接且快速有效的μ基算法。利用μ基可以直接表示出这两种曲面的隐式化方程。进一步，我们从隐式曲面出发构造了曲面
论文目录:
致谢
摘要
Abstract
第一章 绪论
§1.1 概述
§1.2 曲线曲面的隐式化
§1.2.1 动曲线与动曲面方法
§1.2.2 μ基方法
§1.3 本文的内容和结构
第二章 基本知识
§2.1 曲线、曲面的参数表示
§2.2 计算代数几何的基本知识
§2.2.1 多项式,理想,Gr(o|¨)bner基
§2.2.2 结式
§2.2.3 模,自由模,syzygy模
§2.3 μ基方法
§2.3.1 平面曲线的μ基
§2.3.2 直纹面的μ基
§2.3.3 一般曲面的μ基
§2.4 讨论
第三章 曲线、曲面μ基的计算
§3.1 多项矩阵的基本知识
§3.1.1 多项式矩阵
§3.1.2 Syzygy模的生成矩阵
§3.2 单变量多项式矩阵
§3.3 两变量多项式矩阵
§3.3.1 基本操作模块
§3.3.2 基本分解算法
§3.3.3 GCD提取算法
§3.3.4 Syzygy模的生成矩阵
§3.4 曲线曲面μ基的计算
§3.4.1 曲线μ基的计算
§3.4.2 曲面μ基的计算
§3.5 小结以及讨论
第四章 空间曲线的μ基及隐式化
§4.1 空间曲线的μ基
§4.1.1 空间曲线μ基的定义
§4.1.2 空间曲线μ基的性质
§4.2 空间曲线μ基的计算
§4.3 空间曲线隐式化
§4.3.1 利用μ基隐式化空间曲线
§4.3.2 隐式化问题的讨论
第五章 一些低次曲面的μ基
§5.1 具有两个基点的二次曲面的μ基
§5.1.1 参数曲面的简化
§5.1.2 反变换方法
§5.1.3 二次曲面的μ基
§5.1.4 μ基的计算
§5.1.5 算例
§5.1.6 隐式化
§5.2 二次曲面的参数化
§5.3 具有六个基点的非奇异三次曲面的μ基
§5.3.1 非奇异三次曲面
§5.3.2 曲面的μ基及计算
§5.3.3 隐式化
§5.3.4 算例
§5.4 讨论
第六章 曲线曲面的近似μ基
§6.1 曲线的近似μ基
§6.1.1 近似μ基的定义
§6.1.2 近似动直线的求解
§6.1.3 近似μ基的分析
§6.1.4 近似μ基的算法构造
§6.1.5 算法的实现和算例
§6.2 边界条件
§6.3 算法比较
§6.4 曲面的近似μ基
§6.4.1 近似μ基的定义
§6.4.2 近似μ基的计算
§6.4.3 边界条件
§6.4.4 算例
§6.5 小结和讨论
参考文献
作者攻读博士期间完成论文
毕拙文记
发布时间: 2007-03-13
参考文献
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