论文摘要
自从Gutzwiller提出量子体系态密度迹公式以来,周期轨道理论已经成为人们研究定态体系的量子谱和所对应粒子经典运动的关系的主要工具,在此基础上发展的闭合轨道理论,能更深刻、清晰地揭示所研究体系的动力学性质。对于体系的量子描述和经典描述的对应关系,该理论也给出了深层次的解释。本文就是利用闭合轨道理论定义的一个量子谱来研究了sinai体系。通过一个门电压控制电子在这种器件中的运动,使电子被控制在一维或二维的空腔中,任意形状的空腔由半导体异质结构成。在低温下,高质量异质结都可以小于电子的平均自由程,但大于电子的费米波长,当电子通过这样的空腔时可以看作自由运动。量子台球(特别是二维量子台球)作为这些研究的理论模型和应用半经典方法研究规则和混沌行为的典型例子,一直是人们感兴趣的一个体系。sinai量子台球由于其自身的特点,已经成为人们研究量子混沌的典型例子,成为人们研究量子化方法的基准体系。近二十年来,由于晶体生长和人工刻蚀技术的进步,sinai量子台球已经能制备出来,为实验的研究提供了必要的物质基础。本文把闭合轨道理论扩展到开轨道情况,应用定态展开方法计算体系的能量本征值和本征函数,得到量子谱函数的傅立叶变换ρ( L)。在ρ( L)2随L变化的函数图像中出现了一系列的峰,量子峰的位置与用经典方法得到的轨道长度符合得很好,这说明了闭合轨道理论的正确性,为人们理解量子混沌提供了重要依据。这是一次对sinai体系,从全新的角度进行量子与经典的对应进行的分析,为以后对sinai体系的理论研究,提供了一个新的理论方法。我们还计算了体系的最近邻能级间隔统计分布,随着体系的变化,看到了由泊松分布到维格纳分布的演化过程,这也证明了sinai体系的特殊性,为以后更好的充分利用,提供了一个有力的依据。本文的结构如下:第一章介绍了混沌、闭合轨道理论和量子台球研究的历史和现状。第二章介绍了定态展开方法及最近邻能级间隔统计分布的理论知识。在第三章中,我们对sinai量子台球体系的量子谱进行了分析,把体系的量子谱和经典轨道对照后,我们发现具有很好的对应关系。还计算并分析了sinai量子台球的最近邻能级间隔统计分布,表明这个体系本质上是混沌的。最后一章为本文的结论与对未来工作的展望。
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