一类具阻尼IBq方程的Cauchy问题

论文摘要

本文分五章:第一章为引言;第二章研究一类具阻尼IBq方程的Cauchy问题局部解的存在性和惟一性;第三章研究了Cauchy问题整体解的存在性和惟一性;第四章证明上述Cauchy问题解的不存在性及有限时刻的爆破,并给出解爆破的充分条件;第五章我们首先得到一些估计,利用这些估计得到小初值条件下解的衰减性质,从而证明了整体解的存在性.具体内容如下:在第二章中,我们研究如下一类具阻尼IBq方程的Cauchy问题局部解的存在性和惟一性,其中v0≥0,v1≥0,v0+v1＞0是常数,u（x,t）为未知函数,f（u）是给定的非线性函数,下标t,x分别表示对t,x求导.为此,注意到I-（?）在Hs（R）上是可逆算子,我们将对（1）等价变形为然后利用压缩映射原理证明Cauchy问题（3）,（2）局部解的存在性和惟一性,从而可得问题（1）,（2）局部解的存在性和惟一性.主要结果如下:定理1设s＞1/2,φ∈Hs,ψ∈Hs,f∈C[s]+1（R）和f（0）=0,则Cauchy问题（1）,（2）存在惟一的局部解u∈C1（[0,T0）;Hs),其中[0,T0)是解u（x,t）存在的最大时间区间,且当第三章证明了Cauchy问题（1）,（2）整体解存在惟一性.主要结果如下:定理2设s＞1/2,φ∈Hs,ψx∈Hs,f∈C[s]+1（R）,f（0）=0,和[0,T0)是Cauchy问题（1）,（2）的解u（x,t）存在的最大时间区间,如果其中M2是常数,则T0=∞.定理3设φ∈H1,ψ∈H2,F（u）≥0,f∈C2（R）和f（u）=（?）,F（u）=（?）=（?）,且满足其中A,B为正常数,则问题（1）,（2）有整体解u（x,t）∈C1（[0,∞）;H1).第四章则借助一加权函数,用凸性方法得到了问题（1）,（2）的解在有限时刻发生爆破的充分条件.主要结果如下:定理4设u（x,t）是问题（1）,（2）的解,φ∈H1,ψ∈H2,（?）∈L2,F（u）=（?）,F（u）∈L1,f（u）∈C2（R）,（a+1）u2+2aF（u）+f（u）u≥0,a≥1,则Cauchy问题（1.1）,（1.2）的解u（x,t）在有限时刻爆破,如果下列条件之一成立:且[2（（?）φ,ψ）+2（φ,ψx）+v0||ψ||2+v1||φ||2]2≥8（||ψ||2+||φ||2）E（0）.第五章讨论了小初值条件下Cauchy问题（1）,（2）整体解的存在性.为此,我们首先研究线性问题解的一些估计,然后利用压缩映射原理得到了整体解的存在性.主要结果如下:定理5设φ∈H1∩L1,ψ∈H2∩L1,h∈L2（0,T:H1∩L1）,则Cauchy问题（4）,（5）有惟一的广义解u（x,t）∈C2（[0,T）:H1),（（?）＞0）,且有估计定理6设f（u）∈C2,且当u→0时,f（u）=O(|u|1+α),α＞3,则存在一常数δ＞0,使得对（?）∈H1∩L1,ψ∈H2∩L1且满足则Cauchy问题（1）,（2）有惟一解u（x,t）∈C2（[0,∞）;H1),且有其中C0仅依赖于f和初值.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 Cauchy问题（1.1），（1.2）局部解的存在性与惟一性
• 第三章 Cauchy问题（1.1），（1.2）整体解的存在性与惟一性
• 第四章 Cauchy问题（1.1），（1.2）整体解的不存在性及有限时间内的爆破
• 第五章 小初值条件下Cauchy问题（1.1），（1.2）整体解的存在性
• 参考文献
• 致谢