若干非线性偏微分方程的精确解

论文摘要

随着当代科学的发展,非线性科学在各个领域蓬勃发展,成为研究的重点.对非线性偏微分方程（组）的精确解的理论研究和实际应用有着非常重要的价值,如通过研究非线性波动方程的精确解有助于理解孤立子理论的本质属性和代数结构,从而可以更好的解释相对应的自然现象.因为偏微分方程的复杂性,至今对偏微分方程（组）的求解还没有一种统一的方法,更有大量偏微分方程到目前为止还没有找到其解,因此,寻求新的并有效的方法求解非线性偏微分方程依然是目前重要研究课题之一本文的内容和结构安排如下：第一章,简介了非线性系统的背景及求解方法,并具体介绍了CK直接法,与基于行波约化的辅助函数法.第二章,运用广义的Riccati方程映射法给出了一些非线性偏微分方程（祖）的孤波解和分离变量解,包括（2+1）维GNNV方程,（2+1）维耗散长水波方程,（2+1）维广义Burgers方程与（3+1）维Jumbo-Miwa方程.并通过对所得解中任意函数的选取,得到了它们丰富的局域激发和分形结构.第三章,运用多线性分离变量法求解了耦合Burgers方程,并通过对二维不可压Navier-Stokes方程的研究给出了新的分离变量解.最后,对本文的研究进行了相应的总结,并提出了一些有待进一步研究的问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 几种求解非线性演化方程简介
• 1.2 本论文的结构及主要内容
• 第二章 广义的Riccati方程映射法及应用
• 2.1 广义的Riccati方程映射法的基本思想及求解步骤
• 2.2 （2 +1）维GNNV方程的广义映射解
• 2.3 （2+1）维耗散长水波方程的广义映射解
• 2.4 （2+1）维广义Burgers方程的广义映射解
• 2.5 （3+1）维Jumbo-Miwa方程的广义映射解
• 2.6 非线性演化方程的局域激发及其分形
• 2.7 本章小结
• 第三章 两个非线性发展方程新的分离变量解
• 3.1 多线性分离变量法的基本思想及求解步骤
• 3.2 耦合Burgers方程的分离变量解
• 3.3 维不可压Navier-Stokes方程新的分离变量解
• 第四章 总结与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的科研成果
• 致谢