一阶拟线性双曲组的奇性形成机制

论文摘要

在此博士论文中，我们深入研究了一阶拟线性双曲型方程组的奇性形成机制．首先，在第一章简要介绍一阶拟线性双曲组奇性形成机制的研究背景及现状．为了方便，我们在第二章罗列了一些预备知识，包括一些定义，例如标准化坐标，弱线性退化和弱间断解，以及F.John的波分解公式．人们通常认为对具线性退化特征场的(守恒律)拟线性双曲组不会导致激波形成．这在很长一段时间内都是一个猜想(见[4]，[42])，而且至今仍然悬而未决．在第三章，提出一个证明此猜想的一般框架，并借助于块严格双曲、部分rich性以及逐块封闭系统的概念给出了满足此猜想的一些一般的拟线性双曲组．在第四章，我们在第一象限{(t,x)|t≥0，x≥0}上对具非线性边界条件的拟线性双曲组考虑其混合初边值问题．在系统为严格双曲以及初始数据和边界条件具有某种“小”性的假设下，分别对线性退化和弱线性退化的系统得到了唯一整体C~1解及相应的L~1稳定性，并应用于两个对应的物理模型．在最后一章，对具线性退化特征场的非齐次对角型拟线性严格双曲组及具常重特征的双曲组，在初始数据C~1模有界的假设下，证明了其Cauchy问题的经典解的奇性必为ODE奇性．对半无界区域上相应的初边值问题、Goursat问题以及具弱间断边界条件的Goursat问题也得到了相同的结论．

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• 1.1 问题的背景
• 1.2 研究的现状
• 第二章 预备知识
• 2.1 一些概念
• 2.2 波的分解公式
• 第三章 一类拟线性线性退化双曲组的奇性形成机制
• 3.1 引言
• （2）（u）中一切特征互异的情形'>3.2 一类拟线性双曲组-Λ^（2）（u）中一切特征互异的情形
• （2）（u）中具常重特征的情形'>3.3 一类拟线性双曲组-Λ^（2）（u）中具常重特征的情形
• 3.4 逐块封闭的拟线性块严格双曲组
• 3.5 有关特殊方程组的一些结果
• 3.6 有关一般方程组的一些结果
• 第四章 一类拟线性双曲组混合初边值问题的整体经典解
• 4.1 引言及主要结果
• 1估计'>4.2 两个基本的L¹估计
• 4.3 定理4.1.1的证明
• 4.4 定理4.1.2的证明
• 4.5 定理4.1.3的证明
• 4.6 定理4.1.4的证明
• 4.7 应用
• 4.7.1 弹性弦的平面运动
• 4.7.2 具记忆的可压弹性流体
• 第五章 对角型方程组的奇性形成机制
• 5.1 引言
• 5.2 非齐次对角型方程组的Cauchy问题
• 5.3 半无界区域上齐次对角型方程组的单侧混合初边值问题
• 5.4 半无界区域上非齐次对角型方程组的单侧混合初边值问题
• 5.5 非齐次对角型方程组的Goursat问题
• 5.6 非齐次对角型方程组具弱间断边界条件的Goursat问题
• 参考文献
• 攻读博士期间已发表及完成论文目录
• 致谢