基于几何精确梁理论的框架的弱形式求积元分析

论文摘要

弱形式求积元法是一种基于变分原理的新型数值方法，其核心思想是，在对所求解的问题建立起相应的弱形式描述以后，将所求解区域划分为若干可以进行数值积分的子区域，随后将每个子区域通过坐标变换转换到标准区域中，再综合运用数值积分和数值微分将所得到的泛函离散。在这个过程中根据数值积分的需要确定区域内部的结点，最后求解所得到的代数方程，得到在区域结点上的离散解。求积元法使用数值积分和微分求积法对问题的变分表达和场变量进行高阶近似，因此具有高效、准确的特点。由于求积元法采用了弱形式描述，具有广泛的适用性，适于求解各种具有复杂边界条件的问题。更为重要的是，相对于传统p型有限元方法，求积元法由于每个自由度具有明显的物理意义，能够很方便地增加单元的阶数。另外求积元法由于采用同一套结点作为积分点和网格点，场变量及其导数在所有结点上都具有最高的精度，因此在其后处理过程中也更加方便。几何精确梁理论首先由Reissner提出，随后由Simo和Vu-Quoc予以完善。由于其能够给出在大位移大转动条件下的客观的应变-位形关系，因此在最近的十几年得到了广泛的研究与关注。几何精确梁理论的核心思想是将截面转动引入梁的变形空间，并在相应的截面参考系中对梁的变形进行度量，因此需要引入三维有限转动理论，对梁截面的转动进行表达。三维有限转动的表达中常用的有转动张量、转动向量和转动四元数。由于转动四元数是具有最少参数的非奇异表达，因此本文运用转动四元数，结合几何精确梁理论和求积元法，得到了相应的公式，说明了转动四元数在几何精确梁理论中的适用性。本文结合弱形式求积元法和几何精确梁理论，对一系列几何非线性分析中的标志性问题进行了分析，证明了求积元法的高效、准确以及广泛的适用性，进而说明了求积元法在几何非线性领域具有的优势。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言
• 1.1 研究背景
• 1.2 几何精确梁理论
• 1.2.1 平截面假定
• 1.2.2 应变-位形关系
• 1.2.3 材料本构关系
• 1.3 三维有限转动
• 1.3.1 三维转动张量
• 1.3.2 三维转动向量
• 1.3.3 三维转动四元数
• 1.4 弱形式求积元法
• 1.4.1 虚位移原理
• 1.4.2 Lobatto 积分
• 1.4.3 微分求积法
• 1.4.4 求积元法的特点
• 1.5 结构非线性问题求解
• 1.5.1 Newton-Raphson 方法
• 1.5.2 荷载增量法
• 1.5.3 柱面弧长法
• 1.5.4 分叉路径追踪
• 1.6 本文的研究工作
• 第2章 平面梁结构
• 2.1 平面几何精确梁
• 2.1.1 位移场和变形梯度
• 2.1.2 Reissner 应变
• 2.1.3 等效截面内力
• 2.2 求积元公式推导
• 2.2.1 内力虚功和外力虚功
• 2.2.2 平衡方程和残差向量
• 2.2.3 切向刚度矩阵
• 2.3 数值算例
• 2.3.1 受到集中力偶作用的悬臂梁
• 2.3.2 受到集中力作用的楔形梁
• 2.3.3 Lee 框架的后屈曲分析
• 2.3.4 对称门式框架的后屈曲分析
• 2.4 本章总结
• 第3章 平面曲梁结构
• 3.1 平面几何精确曲梁
• 3.1.1 位移场和变形梯度
• 3.1.2 Reissner 应变
• 3.1.3 等效截面内力
• 3.2 求积元公式推导
• 3.2.1 内力虚功和外力虚功
• 3.2.2 平衡方程和残差向量
• 3.2.3 切向刚度矩阵
• 3.3 数值算例
• 3.3.1 圆形悬臂梁的展开
• 3.3.2 抛物线悬臂梁的弯曲
• 3.3.3 受到集中力挤压的圆环
• 3.3.4 一端铰支一端固支的深拱
• 3.3.5 两端受到弹簧约束的浅拱
• 3.4 本章总结
• 第4章 空间梁结构
• 4.1 空间几何精确梁
• 4.1.1 位移场和变形梯度
• 4.1.2 客观应变度量
• 4.1.3 内力虚功
• 4.1.4 材料本构关系
• 4.2 求积元公式推导
• 4.2.1 虚位移原理
• 4.2.2 平衡方程
• 4.2.3 切向刚度矩阵
• 4.3 数值算例
• 4.3.1 弯成圆形的悬臂梁
• 4.3.2 弯成螺旋形的悬臂梁
• 4.3.3 端点作用集中力的变截面梁
• 4.3.4 初始扭曲的悬臂梁
• 4.3.5 初始 45°弯曲悬臂梁
• 4.3.6 Crisfield 框架
• 4.3.7 Lee 框架的屈曲分析
• 4.3.8 一端铰支一端固支的深拱
• 4.3.9 直角框架的侧向失稳
• 4.4 本章总结
• 第5章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在校期间发表的学术论文与研究成果