Clifford分析中高维空间上两类高阶T算子的性质

论文摘要

本文研究了Clifford分析中两个高阶奇异的T(Teodorescu)算子的基本性质.T算子是一个定义在区域上的奇异积分算子,它在广义解析函数理论以及Vekua方程组中起着非常重要的作用,而Vekua方程组与平面弹性力学,壳理论,空气动力学等许多学科都密切相关,所以研究各种空间中T算子的性质是非常有必要的.同时T算子是非齐次Dirac方程的广义解,因此它在研究非齐次Dirac方程通解的积分表达式以及许多边值问题中发挥着关键作用.在复分析中许多关于T算子的理论发展地很完善,但在Clifford分析中,T算子,尤其是高阶奇异的T算子的性质还没有相应的结论.Clifford分析中的T算子是复平面上T算子在高维空间中的推广,它与复平面中的T算子有着许多相同的性质.同时Clifford分析中的高阶奇异的T算子也有着许多好的性质和应用.本文着重研究了Clifford分析中一个具有高阶奇性的广义Teodorescu算子的基本性质,得到了这个算子在整个Rn空间中的一致有界性,Holder连续性.同时本文还证明了这个算子的γ次可积性.另外,本文还研究了定义于Lp,n(Ω)空间上的一个高阶奇异的T算子的许多基本性质,得到了这个算子在整个Rn空间中的一致有界性,Holder连续性以及算子在无穷远点的性质.本文共分为三章.第一章.我们给出了本文所需的预备知识.第二章.我们研究了一个有界区域上的高阶奇异的T算子的性质,证明了这个算子在整个Rn空间中的一致有界性,Holder连续性以及γ次可积性.首先给出了几个重要引理以及不等式,这些引理及不等式在证明后面的结论时都有着重要的作用.然后,我们给出了有界区域上的高阶T算子的定义.利用Holder不等式和引理2.5证明了这个算子在整个Rn空间中的一致有界性.然后利用Holder不等式,引理2.2, Hile引理以及Hadamard引理证明了这个算子在Rn空间中的Holder连续性.最后我们利用Holder不等式证明了这个高阶T算子关于x是γ次可积函数,即将空间Lp(Ω)上的函数映到了函数空间Lγ(Ω)上.这里采用的主要手法是把奇性指标拆分为我们需要的形式进行证明.在本章中值得强调的是我们在定理证明过程中引入了指标记号,这样就把复杂的公式化为简洁的形式,大大方便了计算.第三章,主要研究了定义于Lp,n(Ω)空间上的一个高阶奇异的T算子的许多基本性质,得到了这个算子在整个Rn空间中的一致有界性,Holder连续性以及算子在无穷远点的性质.首先给出两个引理,又证明了两个重要的不等式.然后给出了定义于Lp,n(Ω)空间上的一个高阶T算子.同时利用引理中的不等式证明了该算子的一致有界性和Holder连续性.在证明该高阶T算子的Holder连续性时,我们通过定理3.2证明了参数指标α∈[(?),1)时,高阶T算子的Holder连续性,而定理7证明了α∈[0,(?))时,高阶T算子的Holder连续性.需要注意的是,函数f(x)在两个定理中要满足的条件是不同的.最后,我们研究了这个算子在无穷远处的性质,即当x→∞时,｜(Tf)(x)|→∞,并且在无穷远点附近,(Tf)(x)是|x|(?)的同阶无穷小.T算子在广义正则函数的积分表示中起到了关键作用,它在复分析,四元数分析以及Clifford分析中都有很好的应用.本文表明,在Clifford分析中,我们研究的两个不同函数空间上的高阶T算子与普通T算子理论一样,也有许多良好的性质,例如：有界性,Holder连续性和γ次可积性.这些内容使得T算子的理论得到了完善与补充,为更好的研究奇性更高的广义正则函数方程奠定了理论基础.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言（绪论）
• 1 预备知识
• 1.1 Clifford代数
• 1.2 微分算子
• 1.3 微元
• 1.4 重要函数类
• 2 有界域上的T算子
• 2.1 一些引理
• 2.2 有界域上T算子的性质
• p,n（Ω）空间中的T算子'>3 L^p,n（Ω）空间中的T算子
• 3.1 一些引理
• p,n（Ω）空间中T算子的性质'>3.2 L^p,n（Ω）空间中T算子的性质
• 结论
• 参考文献
• 致谢