关于体积增长的流形的曲率与拓扑研究

论文摘要

在本文中，我们较系统地研究了具有非负Ricci曲率的完备非紧Riemann流形在体积增长条件下的拓扑结构．第一，我们研究了具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧Riemann流形Mn，如果Mn满足对某个p∈M有Kpmin≥-C（C>0）及一定的大体积增长条件，我们证明了Mn具有有限拓扑型；如果Mn满足共轭半径conjM≥i0>0，临界半径critp≥r0>0及一定的大体积增长条件，我们证明了Mn微分同胚于Rn，这些是[47]和[36]中部分结果的推广．另外，我们还证明了：如果Mn满足对某个p∈M和任意r>0有kp（r）≥-C/（1+r）α，其中C>0，0≤α≤2，则Mn在一定大体积增长条件下必微分同胚于Rn．这个结论将C．Xia[56]的定理推广到一般．第二，我们应用Gromov-Hausdorff收敛性和Toponogov型比较定理得到临界半径Cp的一个上界估计，结合距离函数与临界点的关系，得到具有非负Ricci曲率且满足αM>1/2的完备非紧Riemann流形在几个距离函数（Excess函数等）有限的条件下微分同胚于Rn的结果，从而进一步支持P．Petersen[40]的猜想．第三，我们应用大体积增长条件下的研究方法，讨论具有非负Ricci曲率和次体积增长的完备非紧Riemann流形的拓扑结构，得到有关有限拓扑型和基本群的结论，改进了H．Zhan和Z．Shen[65]的定理．

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 引言及主要结果
• §1.1 研究问题与研究背景
• §1.2 具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧黎曼流形
• M>1/2的完备非紧黎曼流形'>§1.3 具有非负Ricci曲率且满足α_M>1/2的完备非紧黎曼流形
• §1.4 具有非负Ricci曲率和小体积增长的完备非紧黎曼流形
• §1.5 具有非负Ricci曲率和次体积增长的完备非紧黎曼流形
• §1.6 本文的主要结果及其证明思想
• 第二章 预备知识
• §2.1 距离函数的临界点理论
• §2.2 Toponogov三角形比较定理
• 第三章 具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧黎曼流形
• p^min≥-C（C>0）下大体积增长的结论'>§3.1 证明K_p^min≥-C（C>0）下大体积增长的结论
• M≥i₀>0下大体积增长的结论'>§3.2 证明conj_M≥i₀>0下大体积增长的结论
• p（r）≥-C/（1+r）^α,α∈[0,2]下大体积增长的结论'>§3.3 证明k_p（r）≥-C/（1+r）^α,α∈[0,2]下大体积增长的结论
• M>1/2的完备非紧黎曼流形'>第四章 具有非负Ricci曲率且满足α_M>1/2的完备非紧黎曼流形
• M^min≥-C（C>0）下的结论'>§4.1 证明K_M^min≥-C（C>0）下的结论
• M≥i₀>0下的结论'>§4.2 证明conj_M≥i₀>0下的结论
• 第五章 具有非负Ricci曲率和次体积增长的完备非紧黎曼流形
• §5.1 次体积增长条件下的有限拓扑型
• §5.2 次体积增长条件下的基本群
• 参考文献
• 博士期间发表的论文、科研成果
• 致谢