三维Minkowski空间中的螺旋面和伪全脐曲面

论文摘要

自Einstein提出相对论以来,其时空模型-Minkowski空间一直备受数学界和物理学界的关注。相对于我们最熟悉的Euclidean空间,Minkowski空间是一个全新的领域。由于度量的不同,导致了一些基本概念有了质的变化,使得Minkowski空间的一些问题与Euclidean空间相比有着出人意料的结论。这些为Minkowski空间所独有的结论,特别是子流形的几何性质,是我们研究和关注的焦点,因为这些结论更好的反映了Minkowski空间区别于Euclidean空间的本质特征。基于这种思想,本文讨论了三维Minkowski空间中的两类曲面,即螺旋面和伪全脐曲面。 三维Minkowski空间中的螺旋面是一条平面曲线经由螺旋运动所生成的曲面。依据旋转轴的向量类型,三维Minkowski空间中的螺旋运动可分为三类,其中第三类螺旋运动,即三次螺旋运动,是最特殊的。与Euclidean空间中的螺旋运动不同,这类螺旋运动的平移轨迹不是旋转轴方向的直线,而是曲率不为零的类光曲线。 在第三章中,本文进一步将三维Minkowski空间中的螺旋面细分为五类,集中讨论了经由三次螺旋运动所生成的两类螺旋面。事实上,三维Minkowski空间中任意螺旋面的平均曲率和Gauss曲率都与旋转参数无关。基于这一点,当螺旋面的平均曲率或Gauss曲率为给定光滑函数时,本文选取伪正交标架,使得两类螺旋面的平均曲率和Gauss曲率的表达式相对简化,通过求解一系列的非线性常微分方程,即可确定一族生成曲线,从而最终确定平均血率或Gauss曲率为给定光滑函数的双参数族螺旋面,并在这一过程中解决了Beneki等人留下的一个公开问题。这样结合Beneki等人的工作,本文证明:三维Minkowski空间中,平均曲率或Gauss曲率为任意给定光滑函数的任意一类螺旋面都是存在的,并给出了具体的参数表达式.在此基础上,讨论了螺旋面的一些几何性质. 三维Minkowski空间中,平均曲率H和Gauss曲率K满足H2=K的曲面称为伪全脐曲面（三维Euclidean空间中,满足这一条件的曲面局部上只有平面和球面）,它是全脐曲面和广义全脐曲面（即B-scroll）的推广。在第四章中,通过选取类光坐标曲线,本文证明:三维Minkowski空间中的任意类时伪全脐曲面均为null scroll,即由单参数族的类光直线构成的类时直纹面。在此基础上,我们给出了伪全脐曲面的一种分类:·类空的情况:双曲空间H2,类空平面。·类时的情况:Null scroll 一类时全脐曲面:de Sitter空间S12,类时平面。 一广义全脐曲面:B-scroll. 一形状算子的极小多项式形如（x-b）2（b不为常数）的null scroll。其中后两类类时伪全脐曲面的形状算子不能对角化,它们在三维Euclidean空间中没有

论文目录

• 1 绪论
• 1.1 本文研究背景介绍
• 1.1.1 Minkowski空间与相对论
• 1.1.2 Minkowski空间中的Weingarten超曲面
• 1.2 本文内容介绍
• 2 Minkowski空间中的超曲面
• 2.1 Minkowski空间的定义
• 2.2 Minkowski空间上的自共轭变换
• 2.3 Minkowski空间中的超曲面
• 1³中的螺旋面'>3 三维Minkowski空间E₁³中的螺旋面
• 1³中的螺旋运动'>3.1 E₁³中的螺旋运动
• 1³中的三类旋转运动'>3.1.1 E₁³中的三类旋转运动
• 1³中的三类螺旋运动'>3.1.2 E₁³中的三类螺旋运动
• 1³中的螺旋面'>3.2 E₁³中的螺旋面
• 1³中的螺旋面的定义及分类'>3.2.1 E₁³中的螺旋面的定义及分类
• 1³中螺旋面的平均曲率与Gauss曲率'>3.2.2 E₁³中螺旋面的平均曲率与Gauss曲率
• 1³中给定平均曲率或Gauss曲率的螺旋面'>3.3 E₁³中给定平均曲率或Gauss曲率的螺旋面
• 3.3.1 给定平均曲率或Gauss曲率的以非类光向量为轴的螺旋面
• 3.3.2 给定平均曲率或Causs曲率的以类光向量为轴的螺旋面
• 1³中的螺旋面的一个公开问题'>3.4 关于E₁³中的螺旋面的一个公开问题
• 1³中的伪全脐曲面'>4 三维Minkowski空间E₁³中的伪全脐曲面
• 1³中的伪全脐曲面'>4.1 E₁³中的伪全脐曲面
• 1³中的null scroll'>4.2 E₁³中的null scroll
• 1³中的伪全脐曲面的分类'>4.3 E₁³中的伪全脐曲面的分类
• 1³中的伪全脐螺旋面'>4.4 E₁³中的伪全脐螺旋面
• 参考文献