论文摘要
本文是作者在攻读应用数学专业硕士学位期间部分研究成果的总结.全文围绕若干数学物理问题的定性分析展开讨论。 从研究意义看:第一章讨论了一类偶数阶椭圆型方程的边值问题,物理背景是弹性梁的偏转现象;第二章先后考察了两个抛物型方程的初边值问题,因为对许多实际问题及其数学模型而言,如果得知某一时刻将会出现爆破现象,往往就能找到特殊的办法,以避免爆破现象的发生,所以有必要针对具体的问题设计相应的方法;第三章中,为了对非线性漂浮结构的运动状态进行预报,讨论如何辨识Duffing方程中的未知参数。 从研究内容看:第一章中讨论了椭圆型方程的边值问题的解的存在性;第二章中考察了抛物型方程的初边值问题的局部解的存在唯一性,然后研究解的爆破点集的性质,进而研究如何避免爆破;第三章则在证明了Duffing方程的初值问题的解存在并且唯一之后,探讨如何求解其反问题。 从研究结果看:第一章通过单调迭代过程构造出椭圆型方程的边值问题的两个解,并且指出二者可能是同一个解;第二章利用格林函数给出了抛物型方程的初边值问题的局部解的解析表达式;第三章中,先对Duffing方程的初值问题写出解的渐近展开式,再对其反问题提出一种求近似解的方法。 从研究方法看:第一章的主要工具是上下解方法;第二章中不仅用到了构造辅助问题的方法,还采用了将偏微分方程转化为Volterra积分方程的技巧;第三章中主要运用的是参数摄动方法。 从研究新意看:第一章中从阶数上推广了既有结论,同时减弱了部分条件;第二章中从维数上推广了既有结论,并体现了模型转换的思想;第三章中提出了数图结合的方法,尝试同时反演两个未知参数。