关于多元特征值问题的数值方法

论文摘要

多元特征问题产生于多元统计中多组变量的典型相关分析。1936年,Hotelling首先把线性相依性推广到两个随机向量的讨论中,提出了典型相关分析,检测两组变量间整体相关关系。它的基本思想是根据两组指标的观测值研究两组指标间的相关性,按其提出相关成分的大小依大到小将每组指标进行线性组合,求它们之间的典型相关系数。根据相同原理研究多组变量之间的整体相关性时,利用Lagrange乘数法,则导出多元特征值问题。向后误差和条件数是数值代数的两个基本概念,前者反映了算法的向后稳定性,后者刻画了问题的解关于原始数据小扰动的敏感性,而两者结合则可以估计计算解的精度。关于多元特征值问题的敏度分析成果还不多,因此本文主要研究了多元特征值及对应特征向量的敏度分析。在第二部分中我们首先把矩阵的单特征值概念推广到多元特征值问题。然后,用隐函数理论证明了单特征值及对应特征向量的解析性质,由此导出一阶展开式,并给出条件数的显示表达式和扰动理论。最后,在第三部分我们对Horst方法和P-SOR方法作了数值改进,给出了一种初始迭代向量选择策略。数值试验表明此策略不仅改进了Horst算法和P-SOR方法的收敛速度,而且有助于两种算法都收敛到统计意义下的全局最大值解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 综述
• 第二章 多元特征值问题的敏度分析
• 2.1 单特征值及对应特征向量的一阶展式
• 2.2 条件数
• 2.3 扰动理论
• 2.3.1 扰动上界
• 2.3.2 向后误差
• 第三章 初始迭代向量选择策略
• 3.1 引言
• 3.2 选择策略
• 3.3 数值试验
• 后记
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间完成的文章