函数空间上的Toeplitz算子及Hankel算子

论文摘要

Toeplitz算子和Hankel算子是函数空间上两类重要的的算子.由于与算子理论、函数论、Banach代数等数学分支的紧密联系和在物理、概率论、信息控制论等学科中的广泛应用,这两类算子成为算子理论的热门研究方向,吸引了众多学者的关注.上世纪50年代以来,数学家们对Toeplitz算子和Hankel算子进行了深入的研究,取得了大量重要的成果.但到目前为止,对于Toeplitz算子和Hankel算子还有许多重要的问题没有得到解决,特别是多变量的Toeplitz算子和Hankel算子.本文主要研究单位圆周上k阶斜Toeplitz算子的交换性和本性交换性、单位圆盘的加权Bergman空间上Toeplitz算子的交换性和亚正规性,以及单位球的加权Bergman空间上Toeplitz算子乘积的有界性和Hankel算子乘积的有界性及紧性.第二章研究了L2（T）上的k阶斜Toeplitz算子的性质、得到了两个k阶斜Toeplitz算子可交换的充要条件及其乘积和换位子是紧算子的充要条件,特别地,给出了两个k阶斜Toeplitz算子的交换性与本性交换性是一致的.在此基础上,通过对单位圆周T上本性有界函数性质的研究,给出了以特殊函数为符号的两个k阶斜Toeplitz算子本性可交换的充要条件.第三章利用Mellin变换研究了单位圆盘的加权Bergman空间上Toeplitz算子的性质.首先得到了以有界函数为符号的Toeplitz算子和以单项式函数为符号的Toeplitz算子可交换的充要条件,同时给出了[0,1)区间上的有界函数的Mellin变换为有理函数的充要条件.其次,借助于有界函数的Mellin变换的性质,得到了以特殊函数为符号的Toeplitz算子为亚正规算子的一些充要条件和充分条件.第四章研究了单位球的加权Bergman空间上Toeplitz算子乘积和Hankel算子乘积的性质.设-1<γ<∞,对于满足supω∈Bn。B[|f|2]（ω）Bγ[|g|2]（ω）<∞的函数f,g∈Aγ2,得到了对每个满足α>γ的参数α,TfαT?α:Aα2→Aα2确定了一个有界线性算子,以及对每个满足-1<α<γ的参数α,TfγT?γ:Aα2→Aα2是一个有界线性算子.其次,利用算子kω（α）（?）kω（α）的表达式给出了Hankel算子乘积有界的充分条件和必要条件,同时指出了Hankel算子乘积紧性的充要条件.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 Toeplitz算子和Hankel算子
• 1.1.1 Toeplitz算子的交换性
• 1.1.2 Toeplitz算子的亚正规性
• 1.1.3 Toeplitz算子乘积
• 1.1.4 Hankel算子乘积
• 1.1.5 斜Toeplitz算子
• 1.2 本文主要工作
• 2 单位圆周上k阶斜Toeplitz算子的交换性
• 2.1 引言
• 2.2 k阶斜Toeplitz算子的交换性
• 3 加权Bergman空间上Toeplitz算子的性质
• 3.1 引言
• 3.2 Toeplitz算子的交换性
• 3.3 Toeplitz算子的亚正规性
• 4 加权Bergman空间上的Toeplitz算子乘积和Hankel算子乘积
• 4.1 引言
• 4.2 一些引理和基本不等式
• 4.3 Toeplitz算子乘积和Hankel算子乘积的有界性
• 4.4 Hankel算子乘积的紧性
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
• 作者简介