Erlang（n）风险模型破产概率计算及相关问题

论文摘要

本文以经典风险模型为基础,主要介绍了在时间间隔分布为Eriang(n)分布的情况下,在Sparre Andersen风险过程中的破产概率与相关问题的研究.通过对计算方法上面的改进,考虑了最大盈余量即红利界限b时的破产概率和生存概率的计算问题.第一章主要介绍了破产概率产生的背景知识和发展演变.瑞典精算师Filiplundberg在1903年发表的博士论文中,第一次引入了经典风险模型,提出了破产概率,得到了第一个破产概率的初始表达式.此后,以Harald Cramer为首的瑞典学派将其结果严格化.同时, Cramer发展了严格的随机过程理论.Hans.U.Gerber成为了当代研究破产理论的领军人物.后来,通过对经典风险模型进行三方面的改进,获得了今天我们常见的风险模型.第二章主要针对在后面的内容中需要用到的知识,对这些知识所作出的一个知识归纳和总结,分别介绍了Sparre Andersen风险模型,可积的实值函数f的算子的定义和性质,分割差分方程,海维赛德方法.第三章考虑在经典风险模型中,理赔时间间隔过程Poisson过程是平稳独立增量过程,而在现实中任何经济环境或者时间上的变化都将引起理赔时间,理赔次数的变化.本章将经典模型下的齐次Poisson过程改为了Erlang(n)过程.从而获得了两个关于红利界限b的破产概率的定理.为了求解与定理中所得到的积分―微分方程的同质方程DV (μ) = 0μV (μ? y)p(y)dy,又引入了算子T,使得它的Laplace变换可以表示为p?(s) = QQmm?(1s(s) )其中, Qm(s)的次数为n次.利用在第二章介绍的海维赛德方法,解决了此类方程的求解问题.在求解的过程中,充分考虑到方程Qm(s) = 0有相异实根和重根的情形,分别验算了它们的解在n=2和n=3时的互不相关的通式表达式的形式.第四章利用在第三章的得到的Qm(s) = 0的方程的通式表达,得到了关于n=2时的破产概率和生存概率表达式.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1. 引言
• 1.1 破产理论综述
• 1.2 本文的主要工作
• 2. 本文的预备知识
• 2.1 Sparre Andersen风险模型
• 2.2 分隔差分分方方程
• 2.3 可积的实值函数f的算子定义及其性质
• 2.4 海维赛德方方法法
• 3. 积分- 微分分方方程的求解
• 3.1 破产前的最大盈盈余余
• 3.2 密度函数的拉普拉斯变换方程的变形
• 3.3 密度函数的拉普拉斯变换方程的根为相异实根
• 3.4 密度函数的拉普拉斯变换方程的根有重根
• 3.5 互不相关的n个解
• 4. N =2时的X（u, b）
• 5. 参考文献
• 6. 完成的论文
• 7. 致谢