可积系统相关问题的研究

论文摘要

本文主要研究了非线性演化方程族的生成以及非线性演化方程族的扩展可积模型。第一章概述了孤立子理论的产生和发展、研究概况及其研究意义。在第二章中,首先,运用（2+1）-维的零曲率方程得到了（2+1）-维的JM族。其次,根据已有的Lie代数,通过线性组合得到了一个6维的Lie代数,然后,构造出相应的loop代数,并由此设立一个广义谱问题,运用屠格式直接获得了（2+1）-维JM族的可积扩展模型。再次,在一个多分量loop代数的基础上,运用（2+1）-维的零曲率方程得到多分量（2+1）-维JM族。在第三章中,首先,构造一个新的矩阵等谱问题,由离散的屠格式得到非线性晶格方程,利用迹恒等式得到其Hamilton结构。其次,利用半直和的方法扩充已有的Lie代数得到新的Lie代数,在其基础上求得已知可积系的三个可积耦合。因此,得到了一种求可积耦合的简便方法。最后,建立了一个新的代数系统GM并将其扩充到高维代数系统GjM,进而构造出相应的loop代数（?）jM,作为其应用导出了离散可积系的多分量可积系。在第四章中,借助于循环数,构造了一个新的loop代数,并由此得到具有双Hamilton结构的广义Toda族。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 孤立子理论的产生及其发展
• 1.2 孤立子理论研究概述
• 1.3 孤立子理论研究的意义
• 1.4 本课题研究的主要内容
• 2 连续可积方程族及其可积拓广
• 2.1 一般理论和方法
• 2.2（2+1）-维连续可积系统
• 2.3 多分量连续可积系统
• 3 离散可积方程族的生成
• 3.1 一般理论和方法
• 3.2 一族离散的可积系统及其哈密顿结构
• 3.3 半直和Lie代数的应用
• 3.4 多分量离散可积族
• 4 一个高维的loop代数及其应用
• 4.1 一个高维loop代数
• 4.2 广义Toda族及其哈密顿结构
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士阶段所发表的论文