随机变量的精致渐近性

论文摘要

概率论极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其它分支和数理统计的重要基础。前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义。”经典极限理论是概率论发展上的重要成果，而对强收敛的研究是近代概率极限理论研究中的热门方向之一，本文也就此进行深入的研究。 近年来，精致渐近性的研究引起了人们广泛的兴趣。本文根据文献已有的结果，研究尚未有人涉及的由随机样本所导出的次序统计量，设{X，X1，X2，…}是iid的随机变量序列，随机变量X的分布函数F属于极值分布为Fréchet分布的最大值吸引场，把关于精致渐近性的研究首次引入具有金融风险背景的极值分布吸引场领域，是一个很有意义的尝试。在适当的条件下，对一些特殊的边界函数和权函数讨论了其精致渐近性的结果，并且通过适当的选取参数，即可得到基于非随机样本的次序统计量的结果。为了得到更多的权函数，边界函数并揭示它们之间的关系，在一些看起来比较复杂而实际上都是很平常的条件下，我们得到了非常一般的结果，不仅包含最初研究的结果，而且揭示了边界函数，权函数和收敛速度之间的关系，从而可以给出许许多多的边界函数和权函数。 接下来，我们接触到了广义次序统计量。广义次序统计量是序贯次序统计量的一个子类，包括许多概率统计中常用的用以描述有序变量的随机模型。例如，通常次序统计量，记录值，k—记录值，Pfeifer记录值，累进Ⅱ型删失次序统计量，多维不完全修理次序统计量，等等。广义次序统计量为我们提供了适当的方式来解释这些所含模型的相似性，通过将已有结果的推广和已有性质的综合，使得对这些模型结构的认识更加清楚。本文主要来研究广义次序统计量的精致渐近性的结果。该结果的给出使得有关广义次序统计量特殊模型的精致渐近性的结果得到统一，建立起这一方向研究的框架。 最近，有学者在核函数的2阶矩或者更高价矩的条件下，对一些特殊的边界函数核权函数研究了U—统计量的精致渐近性。由于精致渐近性的研究会涉及变量的中心极限定理，而U—统计量的中心极限定理只需在核函数4／3阶矩的条件下即可成立。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 随机变量精致渐近性的介绍
• §1.2 本文的主要研究成果
• 第二章 次序统计量的精致渐近性
• §2.1 引言
• §2.2 一类次序统计量的精致渐近性Ⅰ
• §2.2.1 主要结果与引理
• §2.2.2 定理的证明
• §2.3 一类次序统计量的精致渐近性Ⅱ
• §2.3.1 引言与结果
• §2.3.2 一些引理
• §2.3.3 定理的证明
• 第三章 广义次序统计量的精致渐近性
• §3.1 广义次序统计量
• §3.2 主要结果及一些引理
• §3.3 定理的证明
• 第四章 U-统计量的精致渐近性
• §4.1 引言
• §4.2 主要结果及引理
• §4.3 定理的证明
• 第五章 加权和与lévy过程的精致渐近性
• §5.1 引言
• §5.2 主要结果
• §5.3 结论的证明
• 第六章 结束语
• §6.1 论文主要工作
• §6.2 论文创新点
• §6.3 有待进一步考虑的问题
• 攻读博士学位期间论文发表（或待发表）情况
• 参考文献