论文摘要
在众多的工程技术领域,例如遥测和勘探中,提出了大量的反问题.而这些反问题通常是不适定的.本文中介绍了不适定问题和正则化方法,并重点讨论了实Hilbert空间H上一类具有单调算子的非线性不适定问题F（x）=y（1）的迭代Tikhonov正则化方法.其中F是连续单调算子,即F满足（F（x）-F（y）,x-y）≥0, （?）x,y,∈H.（2）在适当的假设条件下,应用以α为正则化参数的迭代Tikhonov方法和以m为正则化参数的迭代Tikhonov方法求解方程（1）,并得到如下结论：定理1.令r=（?）.对任意固定的迭代次数m≥1,如果正则化参数α=α（δ,h）满足limα=0,limδ/α=0,limh/α=0,那么lim‖xα,δ,hm-x*‖=0.定理2.令r=（?）.对任意固定的迭代次数m≥1,令常数C1>0,C2>0.η∈(0,1],ζ∈(0,1]满足C1δn+C2hζ>δ+h‖x*‖.假设‖Fh（0）-yδ‖＞C1δη+C2hζ,那么存在α*：=α*（δ,h）>0满足‖Fh（xα*,δ,hm）-yδ‖=C1δη+C2hζ.若0<η<1,0<ζ<1,则lim‖xα*,δ,hm-x‖=0.定理3.令r=（?）.如果正则化参数m:=m（δ,h）满足Iim m=∞,lim mδ=0,lim mh=0,那么lim‖xmδ,h-x‖=0.在研究非线性不适定问题常用的正则化方法中,我们都需要知道算子F的Frechet导数.因此当F不存在Frechet导数时,这些方法就不能使用了.本文中我们通过改进的迭代Tikhonov正则化方法（3）和（4）解决了这一问题并得到了稳定的近似解.与一般Tikhonov正则化方法作比较,迭代Tikhonov正则化方法（3）可以得到收敛性更好的近似解.同时,迭代Tikhonov正则化方法（4）只需要很少的迭代步数就能达到很好的收敛性,而没有必要去提高迭代步数.本文大致结构如下,在第一章中我们介绍了不适定问题,解决不适定问题的正则化方法和其中的迭代Tikhonov正则法；第二章给出了求解非线性单调算子方程的以a为参数的迭代Tikhonov正则法的收敛性分析;第三章给出了求解非线性单调算子方程的以m为参数的迭代Tikhonov正则法的收敛性分析;第四章给出了一个数值算例,用来验证结论的可行性.
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标签：非线性不适定问题论文; 单调算子论文; 迭代正则化论文; 收敛性论文;