A Mean Value Theorem for Automorphic L-functions

论文摘要

L-函数是一种生成函数,它的来源可以是算术几何,比如定义在数域上的椭圆曲线,或是自守形式。根据Langlands纲领,任何一个一般的L-函数都可以分解为GLm/Q上的自守表示的L-函数的乘积。因此,GLm/Q上的这些自守L-函数就是构建Langlands纲领大厦的砖瓦,因而具有非常深刻的理论意义。 本文中,我们将研究GL2/Q上的全纯尖形式对应的自守L-函数。 我们首先考虑GL1的情况。（?）（s）为Riemann-zeta函数,这里s=σ+it。Hardy和Littlewood研究了二次积分均值 （?）（T）=（1/T）integral from n=1 to T（|（?）（1/2+it）|2dt）, 并且证明了当T→∞时, （?）（T）～logT。（0.1） 这就是说|（?）（1/2+it）|2的均值为logt。记γ≤γ+为（?）（s）函数的连续零点的纵坐标,在Riemann猜想下,Conrey and Ghosh定义了离散均值 （?）（T）=1/（N（T）） sum from 0<γ≤T to max γ<t≤γ+（|（?）（1/2+it）|2）, 并且证明了 （?）（T）～（e2-5）/2 logT。（0.2） 这里N（T）是非显然零点ρ=1/2+iγ的个数,0<γ≤T。这说明|（?）（1/2+it）|2在临界情况下的均值为（e2-5）/2logt。注意到（e2-5）/2=1.1945…,大于1。所以,我们可以把公式（0.1）和（0.2）记做 （?）（T）～（e2-5）/2（?）（T）。（0.3） 本文中,我们研究SL2（Z）上的全纯尖形式f对应的自守L-函数L（f,s）。Shandong University Master Dissertation定义J（f,T）:二一 T厂卜（,,蚤+、亡）…’“（0 .4）在广义Riemann假设下,即侧f,s)的所有非显然零点都位于。二告上.记守三7+为L（f,,）的连续零点的纵坐标,幻（了,刀二 1一l/.1.、}‘两了万。落·级笋}乙气‘,百十’‘）}’‘。·5,这里N（f,刀是L（f,s）的非显然零点p二合+行的个数,0<7三T.我们有、（,,:）一丢,。g蒜+O（‘。gT,;（0 .6）和经典的Riemann zeta函数的零点个数N（:）一乒:。g乒+o（logT） 乙7T‘7TC做比较. 我们有下面的结果 定理0.1.设侧了,s）为SLZ（蜀上的全纯尖形式f对应的自守L一函数,在广义Riemann假设下,习（f,T）J（f,T）+乃（f,T）,（0 .7）这里乃（f,T）=州劲弄109弄二（忿卜艺兴。。8（‘·而一普） 1<介<止‘（0 .8）:（n）为依赖于f的某个常数.Shandong University Master Dissertation 这里到f,s）是2阶L一函数,而以s）阶为1.由（0.s）,易知州f,s）比心（s）研究起来更困难.在引理7.1中我们将证明H（T）《Tl+‘.遗憾地是,现在的方法不能得到（0.5）中H(刀的渐进公式.因此,我们在互7中将给出一些探索性的讨论,给出T《H(月《TlogZ工以及如果H（T）阶为T10gZT,则有渐进公式H(刀clTlogZT.我们提出了猜想0.2.存在常数c全0习（f,T）、（1+c）J（f,T）.常数。至多依赖于f的权k.关键词:全纯尖形式,自守L-函数,广义Riemann猜想,广义Ramanujan猜想,广义Lindel6f猜想

论文目录

• Abstract
• 中文摘要
• §1. Introduction
• §2. Holomorphic automorphic forms and their L-functions
• 1（f,s）'>§3. Functions Z（f,s） and Z₁（f,s）
• §4. Proof of Theorem 1.1
• §5. Proof of Lemma 4.1
• §6. Estimate J（t）; completion of proof of the Theorem 1.1
• §7. Orders of D（f,T） and H（T）; heuristic arguments
• Bibliography
• Acknowledgements