论文摘要
本文首先考虑二阶Hamiltonian系统其中V∈C1（R×RN，R），▽V（t，x）=（（?）V／（?）x）（t，x）。本文中V（t，x）=-K（t，x）+W（t，x），而K（t，x）关于x不一定具有齐次性，我们的具体做法是利用没有（PS）条件的山路引理。主要结果如下：定理1假设（V1）V（t，x）=-K（t，x）+W（t，x）；（V2）K∈C1（R×RN，R）并且存在一个正常数λ满足关于一切t∈R和x∈RN一致成立，其中L（t）是一个关于所有t∈R正定对称的函数矩阵；（V3）当|t|→∞时（K（t，x））／（|x|2）→+∞关于x∈RN＼{0}一致成立；（V4）存在一个常数c0＞0使得对所有t∈R，x∈RN成立；（W1）W∈C1（R×RN，R）且存在一个常数μ＞2使得对t∈R和x∈RN＼{0}成立；（W2）当|x|→0时▽W（t，x）=o（|x|）关于t∈R一致成立；（W3）存在W*∈C（RN，R）满足对所有t∈R，x∈RN成立，那么系统（HS1）至少有一个非平凡的同宿轨。接下来本文讨论了二阶Hamiltonian系统同宿轨的多解性结果，其中L（t）是一个对称的实值函数矩阵，W∈C1（R×RN，R）关于第二个变量是偶的，并且g（t）≠0。当g（t）≡0，可以利用对称山路引理得到多解，本文在g（t）（?）0从而失去对称性的条件下，利用扰动方法同样得到了多解。主要结果如下：定理2假设（L）当|t|→∞时有（L′）存在正常数（?）＞0和（?）＞0使得下列条件之一成立：（ⅰ）L∈C1（R，RN）且当|t|≥（?）有|L′（t）|≤（?）|L（t）|，或者（ⅱ）L∈C2（R，RN）且当|t|≥（?）有L″（t）≤（?）L（t），其中L′（t）=（d／dt）L（t），L″（t）=（d2／dt2）L（t）；假设W（t，·）是偶的，满足（W1），（W2）以及（W4）存在正常数C1，C2使得（W5）存在正常数C3和p≥μ使得对所有t∈R和|x|＞1有另外假设（G）g∈L2（R，RN）∩Lμ′（R，RN）（μ′=μ／（μ-1）），并且对足够大的n我们有其中λn是-d2／dt2+L（t）在L2（R，RN）中第n个特征值（具体含义见证明中），那么（HS2）有一列无界同宿轨。最后，本文讨论了二阶方程其中α，β，γ∈C1（R）。本文在β（?）0和系数函数没有奇偶性的条件下得到了（HS3）的正同宿轨的存在性。主要结果如下：定理3假设（H1）存在正常数a′，b′，c′，B和C使得（H2）α，β，γ∈C1（R）满足tα′（t）≥0，tβ′（t）≤0，tγ′（t）≤0，对所有t∈R成立，其中α′（t）=（d／dt）α（t）；（H3）（cT含义见证明中），则（HS3）有一正同宿轨。定理4假设（H1）成立，并且有（H4）则（HS3）有一正同宿轨。推论1假设（H1），（H2）成立，并且有（H5）则（HS3）有一正同宿轨。