系数矩阵带有奇异的偏微分方程组的初边值问题

论文摘要

偏微分方程组起源于数学、等离子物理学、固体力学、流体动力学、化学动力学、数学生物学和工程学等许多科学模型,例如:浅水波传播、火焰传播、受负荷的弹性体和非弹性体的形变和压力、描述非等温管状接触反应堆的伪齐次轴向渗透模型、分离和反应工程学模型、化学反应扩散Brusselator模型和人口增长模型。在实际问题中,经常会遇到大量的偏微分方程组,所以求解偏微分方程组一直以来都是一个非常重要的课题。但是要想求得好的数值解是十分困难的。对于系数矩阵带有奇异的偏微分方程组,几乎没有有效的方法可以获得数值解。能否得到适当精度和可靠的数值解主要依赖于所用的数值解法。因此,寻求一种精确度高、稳定性强、收敛性好和计算量少的算法就显得尤为重要。本文在再生核空间中讨论了系数矩阵带有奇异的偏微分方程组的初边值问题,我们以级数形式解析地给出了它的精确解表示,同时通过对此级数进行截断我们得到它的近似解。我们的方法有如下特点:首先,方程组的近似解一致收敛到精确解,并且近似解的各阶偏导数一致收敛到精确解的各阶偏导数;其次,可以避免Gram-Schmidt正交化过程,从而当节点数相同,特别当节点数相当大时,可以大大减少运算时间和提高运算精度。我们给出了一些数值算例来验证我们的方法的精度,数值实验的结果表明了我们的方法是简单有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题来源及研究的目的和意义
• 1.2 国内外在该方向上的研究现状
• 1.3 再生核理论的产生和发展
• 1.4 本文研究的主要内容
• 第2章 再生核基本理论
• 2.1 引言
• 2¹ [a,b] 的定义及基本性质'>2.2 再生核空间W₂¹ [a,b] 的定义及基本性质
• 2¹[a,b] 的定义及基本性质'>2.3 再生核空间W₂¹[a,b] 的定义及基本性质
• 1,1（[a,b] ×[a,b]）'>2.4 再生核空间W_1,1（[a,b] ×[a,b]）
• 2.5 本章小结
• 第3章 系数矩阵带有奇异的偏微分方程组
• 3.1 预备知识
• 3[0, 1]'>3.1.1 再生核空间W₃[0, 1]
• 3.1.2 再生核空间W-2[0, 1]
• 1[0, 1]'>3.1.3 再生核空间W₁[0, 1]
• 3,2（D） 和W_1,1（D）'>3.1.4 再生核空间W_3,2（D） 和W_1,1（D）
• 3,2（D）（?） W_3,2（D）'>3.1.5 再生核空间W_3,2（D）（?） W_3,2（D）
• 3.1.6 两个重要引理
• 3.2 方程组（3-2） 的精确解及近似解
• 3.3 收敛性分析
• 3.4 数值算例
• 3.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢