论文摘要
研究如下形式的一维圣维南方程组其中A=A（t，x）为时刻t、位置x处过水断面面积，v=v（t，x）为通过过水断面的平均流速，g为重力加速度，h=h（A）为相应断面面积A的水深，F=F（A，v）表示摩阻力．通过讨论具不同形式摩阻力（零摩阻，线性耗散摩阻，高阶耗散摩阻以及张驰项摩阻）的Cauchy问题以及具零摩阻的初边值问题，在一定条件下证明了这些问题解的整体存在性，并给出了解发生爆破的充分条件及生命跨度估计；同时研究了具张弛项的圣维南方程组弱解的存在性．主要结果包括以下三部分内容：第二章主要讨论一维圣维南方程组的Cauchy问题．通过引进Riemann不变量，讨论了摩阻力F（A，v）≡0的可约化圣维南方程组的Cauchy问题利用特征线方法，在一定假设条件下证明了Cauchy问题（0．0．2）整体经典解存在的充要条件，并给出了解的生命跨度估计．在这一章也分别研究了具线性耗散摩阻力F（A，v）=2αv和高阶耗散摩阻力F（A，V）=α|v|p-1v（其中α（＞0），p（＞2）为常数）的圣维南方程组的Cauchy问题．对于具线性耗散摩阻力的方程组，证明了只要初始数据的C1模充分小，则Cauchy问题在t≥0上存在整体经典解．同时也验证了对于一阶拟线性双曲方程组来说，低阶耗散可以保证整体经典解的存在性，而对于高阶耗散来说，一般来说，其经典解会在有限时间内破裂．本章得到了高阶耗散总会产生奇性的结果，并给出了解的生命跨度估计．对于具张弛项摩阻力F（A，v）=（v-v*（A））/δ的圣维南方程组的Cauchy问题其中δ＞0表示张弛时间，v*（A）表示系统的平衡态，在这一章得到的结果表明张弛具有耗散效应，即张弛可以保证整体经典解的存在性．第三章研究了具零摩阻力的圣维南方程组的初边值问题．如所周知，一阶拟线性双曲型方程组的初边值问题一般并不存在整体经典解．本文在一定的假设条件下得到了其初边值问题经典解的整体存在性．第四章研究了具张弛项摩阻力的圣维南方程组逼近解的收敛性，通过对方程组（0．0．3）正则化后的抛物型方程组的研究，其中ε＞0表示粘性系数，利用补偿紧致方法证明了（0．0．4）的光滑解序列{Aε，vε}存在子序列{Aδε，vδε}，使得当ε→0+时，有而（A，v）即为方程组（0．0．3）的弱解．最后给出了本文研究的实践意义．