一类预条件迭代法研究

论文摘要

数学、物理、力学等学科和工程技术中许多问题的解决最终都归结为解一个或一些大型稀疏线性方程组.迭代方法是求解大型稀疏线性方程组的一种很重要的方法.而判断迭代方法好坏的标准通常是通过收敛速度来刻画,从而我们应该寻求一种收敛速度比较快的迭代方法.为了更好更快地解线性方程组,我们引进了非奇异预条件矩阵,通过预条件矩阵来加速迭代法的收敛速度.文[1]-[10]在不同预条件矩阵下提出了不同的迭代方法.一般来说,迭代法的收敛性与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系.系数矩阵的类型不同,迭代法的研究方法也会有所差异.本文主要讨论的矩阵是H—矩阵和M—矩阵.本文的结构和各章的主要内容如下:第二章预备知识.这部分主要是为第三、四、五章做准备的.首先,介绍了一些第三、四、五章将要用的定义和定理,例如M—矩阵、H—矩阵、正规分裂的定义及著名的Perron-Frobenius定理等;其次,为行文方便作了几个约定.第三章预条件Gauss-Seidel迭代法.在文[1]提出的预条件Gauss-Seidel迭代方法的基础上,作者提出了预条件I+Gα下的Gauss-Seidel迭代方法.在线性方程组的系数矩阵是H—阵的前提下,得到了几个收敛结果.第四章预条件AOR迭代法.首先,在线性方程组的系数矩阵是H—阵的前提下,提出了预条件I+Cα下的AOR迭代方法,并且得到了收敛定理;其次,在线性方程组的系数矩阵是非奇异M—阵的前提下,得到了预条件I+Cα下AOR迭代方法的比较定理;最后,给出了数值例子.第五章预条件USSOR迭代法.首先,在线性方程组的系数矩阵是H—阵的前提下,提出了预条件I+Cα下的USSOR迭代方法,并且得到了收敛定理;其次,在线性方程组的系数矩阵是非奇异的M—阵的前提下,得到了预条件矩阵I+Cα下USSOR迭代方法的比较定理;最后,给出了数值例子.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 基本迭代法
• 1.2 预条件迭代法的研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 第2章 预备知识
• 2.1 基本定义和定理
• 2.2 约定
• 第3章 预条件Gauss-Seidel迭代法
• 3.1 主要结论及证明
• 3.2 数值例子
• 第4章 预条件AOR迭代法
• 4.1 H-矩阵预条件AOR迭代法
• 4.2 M-矩阵预条件AOR迭代法
• 4.3 数值例子
• 第5章 预条件USSOR迭代法
• 5.1 H-矩阵预条件USSOR迭代法
• 5.2 M-矩阵预条件USSOR迭代法
• 5.3 数值例子
• 总结
• 主要符号表
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果