19世纪以前的变分法

论文摘要

变分法是研究泛函极值的数学分支,它不仅与数学中众多分支联系紧密,而且也为物理学提供了重要的原理,同时又有着十分广泛的应用,凶此,对其历史进行研究,具有极为重要的理论价值和现实意义。本文在查阅大量原始文献和相关研究文献的基础上,利用文献分析和比较研究方法,以“为什么数学”为切入点,结合微积分学、物理学（特别是变分原理）以及几何学等背景,对变分法的起源和创立进行了系统分析和研究。主要成果如下:1.围绕古典等周问题和早期“最小”观念两条线索,首次在较宽视野下对变分法前史进行了系统的考察和梳理,并从问题表述和比较类选取的角度,探讨了早期几何方法的局限性。2.通过考察牛顿最小阻力体问题、约翰·伯努利最速降线问题和雅可布·伯努利等周问题等问题的提出过程及解决方法,深入探究了变分法诞生的深刻背景,提炼和概括出了伯努利兄弟和泰勒等先驱者解决变分问题的基本思想和求解模式,追溯了其微积分渊源,并分析了三位先驱者之间的变分法思想传承及相互影响。3.对欧拉早期受到忽视的三篇论文进行了详细的考察,探讨了欧拉对变分法所做的核心贡献——基本方程和等周法则的提炼和形成过程。通过对欧拉与伯努利兄弟和泰勒等人的解法进行比较和分析,揭示了欧拉对变分法一般性研究的背景、切入点、思想来源和演变;通过对欧拉所犯错误的原因及其影响进行深入分析,指出《技巧》一书并不仅仅是欧拉对早期研究的系统总结和改进,还包含着某种突破和变革。4.对欧拉变分法的一般理论进行了细致的考察。探讨了欧拉的基本方程不变性思想,认为这一思想是当时分析学研究对象变革的集中体现;对两个具有争议的问题进行了澄清;对欧拉变分法的局限性进行了分析和总结,由此揭示了拉格朗日变分法研究的数学背景。5.考察了欧拉变分法的力学应用,特别是他在最小作用原理方面的工作,揭示了其变分法研究的力学背景以及对后来拉格朗日力学和变分法研究的影响。6.深入细致地分析了拉格朗日对变分法所做的变革和发展:（1）通过比较欧拉方法和拉格朗日方法,探讨了拉格朗日变分方法——δ-方法提出的动因;（2）详细论述了拉格朗日早期对变分法发展所作的重要贡献;（3）探究了拉格朗日δ-方法由非参数形式向参数形式转变的原因。7.从变分法的角度出发,探讨了拉格朗日关于力学基础和力学分析化的研究,由此揭示了拉格朗日变分法研究的力学动机以及力学（特别是变分原理）对变分法发展的推动作用。8.结合拉格朗日微积分代数化方案和18世纪可积性条件的研究,探讨了拉格朗日关于变分法基础研究的数学背景及相关工作;通过对《分析力学》中静力学约束平衡问题的细致考察,系统探讨了变分法中乘子法则的力学渊源、提出过程及意义。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 第一章 变分法的发端
• 1.1 古典等周问题
• 1.1.1 等周问题的起源
• 1.1.2 齐奥多鲁斯的几何解法
• 1.1.3 帕普斯与等周问题
• 1.1.4 等周问题在17世纪的复兴
• 1.2 “最小”观念的萌生与发展
• 1.2.1 “简单性”信仰和“最小量”假设
• 1.2.2 早期光现象极值性的探索—“最小”观念的确立与发展
• 1.3 伽利略科学研究新范式的建立和最速降线问题的萌芽
• 1.3.1 科学研究的新范式
• 1.3.2 最速降线问题的萌芽
• 第二章 变分法的酝酿和诞生
• 2.1 费马的极值方法和最小时间原理
• 2.1.1 最小时间原理的首次提出
• 2.1.2 费马的极大、极小值方法
• 2.1.3 最小时间原理的数学确认
• 2.1.4 最小时间原理的影响和意义
• 2.2 牛顿的最小阻力体问题
• 2.2.1 最小阻力体问题
• 2.2.2 牛顿1685年的解法分析
• 2.2.3 牛顿1694年的解法分析
• 2.2.4 变动端点问题和极值曲线场的萌芽
• 2.2.5 牛顿变分法思想的影响
• 2.3 约翰·伯努利最速降线问题挑战
• 2.3.1 问题的提出和解决
• 2.3.2 提出挑战的文化背景
• 2.3.3 牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟的解法
• 2.3.4 解法的比较与分析
• 2.4 雅可布·伯努利等周问题挑战
• 2.4.1 雅可布的挑战问题
• 2.4.2 雅可布的解法与分析
• 2.4.3 泰勒对问题的推广及解法分析
• 2.4.4 约翰的解法分析
• 2.4.5 三种解法的比较与评价
• 2.4.6 早期阶段遗留的问题
• 第三章 欧拉对变分法的早期探索
• 3.1 测地线问题—初涉变分法
• 3.1.1 欧拉测地线研究的数学背景
• 3.1.2 欧拉测地线问题的解法分析
• 3.1.3 欧拉解决测地线问题的思想
• 3.2 1732年的论文—等周法则崭露头角
• 3.2.1 自由变分问题的解法分析
• 3.2.2 等周问题的解法分析
• 3.2.3 欧拉的形式化和形式推广
• 3.2.4 小结
• 3.3 1736年的论文—基本方程初现端倪
• 3.3.1 自由变分问题的基本方程
• 3.3.2 等周理论的进一步发展
• 3.3.3 欧拉和泰勒等周问题解法的比较
• 3.3.4 小结
• 3.4 欧拉出错的原因及影响分析
• 3.4.1 欧拉的错误
• 3.4.2 欧拉出错的原因分析
• 3.4.3 欧拉错误的影响分析
• 第四章 欧拉变分法的一般理论
• 4.1 《技巧》中的主要问题及基本结果
• 4.1.1 第一类变分问题的基本方程
• 4.1.2 第二类变分问题的基本方程
• 4.1.3 等周问题与等周法则
• 4.2 基本方程的不变性—分析学对象变革的体现和产物
• 4.2.1 基本方程形式的不变性
• 4.2.2 分析学研究对象的变革
• 4.2.3 欧拉不变性思想的动因
• 4.3 欧拉建立基本方程的方法
• 4.3.1 两个争论问题
• 4.3.2 欧拉方法的理论基础
• 4.3.3 欧拉的几何-分析法
• 4.3.4 对两个争论问题的看法
• 4.3.5 欧拉方法的局限性
• 第五章 欧拉变分法的力学应用—最小作用原理的提出
• 5.1 最小作用原理的由来
• 5.2 莫培都—最小作用原理的提出
• 5.3 欧拉—最小作用原理的第一个精确表述
• 5.4 小结
• 第六章 拉格朗日的变革与发展
• 6.1 δ-方法的首次提出—变分法的一次变革
• 6.1.1 拉格朗日的δ-方法
• 6.1.2 欧拉和拉格朗日方法的比较
• 6.1.3 拉格朗日的形式化改造
• 6.1.4 小结
• 6.2 δ-方法的正式发表—变分方法的发展
• 6.2.1 参数形式的δ-方法
• 6.2.2 变动端点问题的一般处理—横截性条件
• 6.2.3 多重积分极值问题的开拓—极小曲面方程
• 6.2.4 对拉格朗日推理的重构
• 6.3 δ-方法由非参数形式到参数形式转变的原因分析
• 6.3.1 拉格朗日和欧拉之间的早期通信
• 6.3.2 拉格朗日对平面情形变动端点最速降线问题的非参数分析
• 6.3.3 拉格朗日对平面情形变动端点最速降线问题的参数分析
• 6.3.4 原因分析
• 第七章 拉格朗日和变分原理
• 7.1 1761年的力学论文—最小作用原理的推广及应用
• 7.1.1 最小作用原理的推广
• 7.1.2 运动方程的推导
• 7.2 1764的力学论文—动力学普遍方程
• 7.3 1788年的《分析力学》—拉格朗日方程和力学的分析化
• 7.3.1 广义坐标和拉格朗日方程
• 7.3.2 走下神坛的最小作用原理
• 7.4 拉格朗日变分原理的研究对变分法发展的影响
• 7.5 从力学基础的研究看拉格朗日的变分法
• 第八章 变分法形式体系的建立
• 8.1 变分法形式基础的创建
• 8.1.1 18世纪对可积性问题的研究
• 8.1.2 拉格朗日微积分的代数化方案—代数分析
• 8.1.3 拉格朗日对可积性条件和变分法基础的研究
• 8.1.4 小结
• 8.2 变分法中乘子法则的起源和变分问题的统一
• 8.2.1 乘子法则的力学起源
• 8.2.2 微积分中乘数法则的引进
• 8.2.3 变分法中乘子法则的提出
• 8.2.4 等周问题和拉格朗日问题的统一
• 8.2.5 小结
• 结语
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动
• 致谢