Ahlfors正则空间上的齐性测度和A1权及Moran集的拟对称极小性和维数

论文摘要

本论文讨论了Ahlfors正则空间上的齐性测度的绝对连续性,同时刻画了这些齐性测度与A1权的关系；研究了直线上的Moran集类的拟对称极小性和Hausdorff维数；并且描述了加倍测度空间上A1权的一些性质,同时给出了简单应用。全文包含三大部分。第一部分,对紧度量空间X,Kaufman和Wu证明了X上的加倍测度相互绝对连续的充要条件是X上仅支撑纯原子的加倍测度。Jonsson讨论了Rn的一类闭子集上的某些加倍测度的绝对连续性。本论文第一部分主要证明了Ahlfors d正则空间（X,m）上的d-齐性测度相互绝对连续,进一步指出,若μ为X上关于m绝对连续的测度,则μ为d-齐性的充分必要条件是μ关于m的Radon-Nikodym导数为A1权,最后证明了X上支撑有d-齐性但非d-正则的测度。第二部分,设f:Rn→Rn为拟对称映射,E（?）Rn,映射f如何影响改变集合E的维数是拟对称研究的一个重要分支。这方面Bishop、Tyson、Kovalev和Hakohyan等做了些有趣结果（参考第一章的综述）。本文第二部分主要讨论直线上的Moran集类的拟对称极小性,即E （?） R为（J,｛nk｝k≥1,｛Ck,j｝1≥j≤nk,k≥:1）确定的Moran集,什么条件下有接着讨论了直线上的Moran集类的Hausdorff维数公式。其中主要的工具是Moran集上支撑的类Gibbs测度,在论文第四章将具体给出这种测度的构造和性质,从而结合质量分布原理对Hausdorff维数下界估计。第三部分,欧氏空间中A∞权的引入不仅使得极大函数定理有了一般的形式,而且Semmes和Heinonen早在1997年就提出了A1权与Bilipschitz的嵌入问题及拟共形的Jacobianl司题都存在联系。这方面Semmes. Bishop. Bonk和Heinonen等先后做了些有趣结果。本文最后一部分主要讨论了一般加倍测度空间上的A1权的性质和构造,并且给出了两个应用。这里的根本思想是加倍测度空间上的球可类似欧氏空间中的方体的二进划分做“二进”划分,从而有类似的Calderon-Zygmund分解定理和反向Holder不等式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 1.1 分形概述
• 1.2 加倍测度的综述
• 1.3 拟对称映射的综述
• 2 预备知识
• 2.1 Hausdorff测度及Hausdorff维数
• 2.2 Moran集的结构和维数
• 2.3 加倍空间及加倍测度
• 2.4 Ahlfors正则空间
• 2.5 拟对称映射及拟共形维数
• n上的A₁权'>2.6 Rⁿ上的A₁权
• 1权'>3 Ahlfors正则空间上的齐性测度和A₁权
• 3.1 引言
• 3.2 绝对连续的加倍测度
• 1权的关系'>3.3 d齐性测度和A₁权的关系
• 3.4 d齐性非d正则测度的构造
• 4 一类Moran集的拟对称极小性和Hausdorff维数
• 4.1 引言
• 4.2 一类Moran集的拟对称极小性
• 4.3 一类Moran集的Hausdorff维数
• 1权'>5 加倍测度空间上的A₁权
• 5.1 引言
• 5.2 加倍测度空间的"二进"划分
• 1权的性质'>5.3 加倍测度空间上的A₁权的性质
• 1权的应用'>5.4 加倍测度空间上的A₁权的应用
• 6 结论展望
• 6.1 全文结论
• 6.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 攻读学位期间发表论文目录