两类非线性发展方程的初值及边值问题

论文摘要

本文研究半线性抛物方程的初值问题和任意维数的神经传播型方程的初边值问题。这两类方程从表面上看是不同的两个方程,但实际上,若把半线性抛物方程两边同时对t求导,就得到神经传播型方程。本文利用位势井族研究了半线性抛物方程的初值问题。首先,引入一族位势井和对应的集合,并给出这族位势井的性质。其次,利用这族位势井得到了解的不变集合和真空隔离现象。第三,得到了解的整体存在性与不存在性的一个门槛结果。第四,证明了解的有限时间Blow-up。最后,讨论了解的渐进性。本文还利用Galerkin方法结合能量估计研究了任意维数的神经传播型方程初边值问题整体强解的存在性。证明了当n≤3时,对非线性项在某些条件下,问题能得到整体时间L∞强解。当n≥4时,如果f∈C,g∈C′在f,g′下方有界,f,g满足一定的增长条件下,问题能得到整体时间L2强解,在n≥4时,引进了一种新的整体强解的概念。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 问题的研究现状和本文要做的工作
• 第2章 位势井族的引进及其性质
• 2.1 位势井的引进及其性质
• 2.2 位势井族的引进及其性质
• 2.3 本章小结
• 第3章 不变集合和解的真空隔离
• 3.1 整体解的不变性
• 3.2 解的真空隔离现象
• 3.3 本章小结
• 第4章 解的整体存在性和有限时间内解的爆破
• 4.1 整体弱解存在定理
• 4.2 相关的定理及其证明
• 4.3 有限时间内解的爆破
• 4.4 临界初值条件的整体解
• 4.5 本章小结
• 第5章 解的渐近性
• 5.1 整体解的渐近性定理
• 5.2 本章小结
• 第6章 神经传播型方程的初边值问题
• 6.1 准备引理及其推论
• 6.2 初边值问题强解的存在性
• 6.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间的研究成果
• 致谢