泛函方程的稳定性

论文摘要

本文研究泛函方程的稳定性问题,着重讨论了柯西泛函方程f（x+y）=f（x）+f（y）和可乘泛函方程f（x·y）=f（x）f（y）的稳定性,并研究了相关的环同态和特征的稳定性问题。全文分两章,分别就这两类泛函方程进行了研究。 本文第一章研究柯西泛函方程f（x+y）=f（x）+f（y）的稳定性问题。我们通过引进泛函指标AΥ（·）来刻画近似可加映射,证明了对于从群到Banach空间内的任一个映射f,只要AΥ（f）是有界的,那么f在Hyers和Ulam意义下就是稳定的。这一结论推广了Hyers的相应结果。研究了关于整个空间上的近似可加映射的稳定性问题,我们接着考虑限制域上可加映射的Hyers-Ulam稳定性问题,证明了在限制域上的近似可加映射在整个空间上也是稳定的,从而推广了F.Skof的相应结论。进一步又考虑了在含单位元Banach代数的两个Banach模之间线性映射的Hyers-Ulam稳定性的几种情况。 本文第二章主要研究可乘泛函方程f（x·y）=f（x）f（y）的稳定性问题。本章首先将J.Baker最早得到的关于近似可乘映射的超稳定性定理推广对象空间到半单的交换复Banach代数上。接着我们同样通过引进另—个泛函指标MΥ（·）来刻画近似可乘映射,证明了关于环同态的稳定性的一些结果,从两个方面推广了R.Badora曾给出的结论。我们证明了对于从环到Banach代数内的任一个映射f,只要AΥ（f）+MΥ（f）是有界的,并且f是保单位元的,那么,就是稳定的。进而,我们给出更为一般的稳定性结果,得到关于Jordan同态和Lie同态的稳定性定理。最后,我们研究定义在交换复Banach代数A的共轭空间A*中的近似线性可乘泛函,也即近似特征的稳定性。我们分析了近似特征的一系列性质,给出了具有稳定特征的代数—AMNM代数的几个等价刻画,得到有限维的交换复Banach代数A都是AMNM代数等若干重要结论。

论文目录

• 主要符号表
• 前言
• 第一章 柯西泛函方程的稳定性
• §1.1 引言
• §1.2 近似群同态的稳定性
• §1.3 限制域上近似可加映射的Hyers-Ulam稳定性
• §1.4 Banach模中线性映射的稳定性
• 第二章 可乘泛函方程的稳定性
• §2.1 引言
• §2.2 可乘泛函方程的超稳定性
• §2.3 环同态的稳定性
• §2.4 特征的稳定性
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果