有限维可积系统、无穷维孤子系统及其显式解的代数几何构造

论文摘要

孤子方程属于无穷维可积系统，是当今非线性科学研究的主流方向之一。在过去的几十年里，孤子方程所描述的非线性动力系统已经被深入研究并广泛应用到了各个自然学科如：生物学、化学、数学、通讯和儿乎所有的物理分支如凝聚态物理、场论、低温物理、流体力学、等离子物理、光学等等。而有限维可积系统又是经典力学中一类重要的可积模型诸如Jacobi椭球测地流、球面上的谐振子（C．Neumann系统）、几种可积的经典陀螺（Euler，Lagrange，Kovaevakaya）等。人们惊喜的发现这些有限维可积系统紧密地联系着无穷维可积系统，即大部分已知的有限维可积系统均可由无穷维可积系统在有限维不变子流形上收缩得到。另一方面，人们要很好的理解孤子方程所描述的非线性行为或实际应用中的内在机制，对于这些非线性动力系统的可能约化，并获得其显式解是十分重要的。本学位论文正是从以下几个方面对描述非线性现象的孤子方程进行进一步的研究和探讨： 寻求新的有限维可积系统—— 可积系统中的重要问题之一就是找出尽可能多的新的有限维可积系统。Flaschka曾提出过这样一条原则：可积系统的约化系统应该仍是可积的。基于Flaschka的思想和Moser的工作，曹策问教授于1989年首创Lax对非线性化方法用于从无穷维可积系统（孤子方程）生成有限维可积系统。鉴于此，我们结合Moser约束方法、一般r—矩阵理论及Lax对非线性化，分别由耦合Harry—Dym孤子族和笔者给出的一个孤子族导出两个新的Neumann型有限维可积系统。此外，结合母函数方法，由修正（Modified）Jaulent-Miodek孤子族给出了一个新的Bargmann型有限维可积Hamiltonian系统。值得一提的是：在获得与耦合Harry—Dym孤子族相联系的Neumann型有限维可积系统过程中，我们还将用于导出Bargmann型有限维可积Hamiltonian系统所使用的母函数方法平推到了Neumann型情形。 孤子方程的分解及其在黎曼曲面上的线性约化——

论文目录

• 第1章 绪论
• 1.1 孤子的发现和发展
• 1.2 可积系统的发展状况
• 1.3 孤子方程的求解方法概述
• 1.3.1 反散射方法（IST）
• 1.3.2 贝克隆变换和达布变换
• 1.3.3 Hirota双线性方法、穿衣方法和代数几何方法
• 1.3.4 Lax对非线性化方法
• 1.4 论文的结构安排
• 第2章 寻求新的有限维可积系统
• 2.1 Neumann型约束耦合Harry—Dym流
• 2.1.1 耦合Harry—Dym孤子族
• 2.1.2 耦合Harry—Dym孤子族的非线性化
• 2.1.3 Neumann型有限维系统的Liouville可积性
• 2.2 Neumann型有限维系统及其Lax表示、r—矩阵结构
• 2.2.1 相关孤子族及其Hamiltonian结构
• 2.2.2 Lax对非线性化
• 2.2.3 Bargmann型有限维系统的动态r—矩阵
• 2.3 Bargmann型约束修正Jaulent-Miodek流
• 2.3.1 修正Jaulent-Miodek孤子族
• 2.3.2 Bargmann型可积Hamiltonian系统
• 第3章 孤子方程的分解及其线性约化
• 3.1 L-C-Z孤子族及高维孤子方程的分解
• 3.1.1 非线性发展方程
• 3.1.2 无穷维孤子系统的有限维约化
• 3.1.3 有限维Hamiltonian系统的Liouville可积性
• 3.1.4 非线性发展方程的相容分解
• 3.2 耦合Harry-Dym孤子族的线性约化
• 3.2.1 Bargmann型有限维系统
• 3.2.2 耦合Harry-Dym孤子族的相容分解
• 3.2.3 耦合Harry-Dym孤子族的线性约化
• 第4章 Neumann型有限维可积系统的应用
• 4.1 散射长波方程的代数几何解
• 4.1.1 散射长波方程的可积分解
• 4.1.2 Neumann型约束流的线性约化
• 4.1.3 代数几何解
• 4.2 一些其它的例子
• 4.2.1 孤子方程关于Neumann型有限维系统的可积分解
• 4.2.2 Neumann型约束流的线性约化
• 4.2.3 显式θ—函数解
• 第5章 孤子方程显式解的代数几何构造
• 5.1 mKP方程显式解的代数几何构造（一）
• 5.1.1 mKP方程的有限维约化
• 5.1.2 相关Hamiltonian系统的Liouville可积性
• 5.1.3 代数几何解
• 5.2 mKP方程显式解的代数几何构造（二）
• 5.2.1 关于mKP方程一个新的相容分解
• 5.2.2 可解的常微分方程
• 5.2.3 mKP方程的显式θ—函数解
• 5.3 mKP方程显式解的代数几何构造（三）
• 5.3.1 mKP方程与KP方程的相容分解
• 5.3.2 高维孤子方程的有限维约化
• 5.3.3 相关流的拉直
• 5.3.4 mKP方程和KP方程的显式θ—函数解
• 参考文献
• 致谢