光子晶体器件数值模拟的Dirichlet-to-Neumann方法

论文摘要

光子晶体是近年来被广泛研究和应用的新型周期性人造材料.由于介电常数的周期性,光子晶体存在不寻常的散射性质和频率隙,也就是说某些频率的光不能够穿过光子晶体,这使得它拥有了非同凡响的控制和操纵光的特殊能力。这些性质已经被用来设计和制造光子晶体器件,例如波导管弯曲,波导管分支,频率滤波器,波导管连接,Mach-Zehnder干涉计,等等.有很大机会这些器件都将会成为集成光路的基本组成部分,从而被希望在未来的某一天能够取代集成电子线路。在设计和优化光子晶体器件的过程中,数值方法是非常重要的,它被用来有效地分析光子晶体的基本性质以及模拟光子晶体器件的特性。传统的数值方法有着各种局限性,比如时间域下模拟的时域有限差分方法,它对脉冲的传播这类问题很有效,但是对传输和反射光谱这样在频率域下能被更自然模拟的问题,就不方便了;标准的频率域下模拟的数值方法,例如有限元方法,它又常常导致要解一个巨大的,复的,非Hermitian的,不定的但是稀疏的线性问题。直接解是非常不划算的。迭代法又收敛得很慢而且常常不收敛.现有的预处理技术对不定的问题又不是很有效。在这篇论文中,基于Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射,我们发展出一种新的高效数值方法来精确模拟二维光子晶体器件.在这里,我们利用了频率域下模拟的一个重要优势,就是容许利用结构的几何特征.光子晶体器件往往是由光子晶体上的缺陷构成的,这使得结构中有很多相同的单元晶格,很多时候,常常只有两种不同的单元晶格:规则的和有缺陷的。我们就使用单元晶格的DtN映射来利用这个特点,从而发展出我们的算法.单元晶格的DtN映射就是一个算子,这个算子把晶格边界上的波动场映射成它自己的法向导数,并且DtN映射可以很容易地用一个矩阵来近似。有了DtN算子,我们避免了计算晶格内部的波动场,只需要计算晶格边界上的波动场,这使得未知数数量极大地减少,只需要在每个单元晶格上使用10到15个未知数就够了,而为了得到相同的精度,标准的有限元,有限差分方法需要在同样尺寸的单元晶格上选取几百个未知数。针对特别大型的光子晶体器件,我们还引入了算子推进（Operator March-ing）方法和Bloch模展开技术来加速我们的运算。算子推进方法用在至少有部分结构的主传播方向能确定的情况下,Bloch模展开方法用在沿主传播方向部分结构有周期性的情况下。在含有几千个单元晶格的大型结构上,标准的有限元和有限差分方法已经无能为力了,而我们通过对主传播方向能确定的器件并入算子推进（OM）方法,对沿主传播方向的局部周期性的结构并入Block模展开技术,使得Dirichlet-to-Neumann方法的高效性能更加突出。有了光子晶体器件,把光有效地输入和导出光子晶体器件也是重要的课题。在如何设计光子晶体波导管和普通波导管的连接或光子晶体波导管与均匀介质的连接上,我们的Dirichlet-to-Neumann方法继续有着出色的发挥.最后我们还用DtN方法成功展示了光子晶体独特的和反常的折射性质。

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摘要

ABSTRACT

第1章绪论

1.1 光子晶体

1.1.1 一维光子晶体

1.1.2 二维光子晶体

1.1.3 三维光子晶体器件

1.1.4 周期性电介质波导管

1.1.5 光子晶体片

1.1.6 光子晶体纤维

1.2 麦克斯韦方程组

1.2.1 麦克斯韦方程组

1.2.2 频率域麦克斯韦方程组

1.2.3 均匀介质下的简化

1.2.4 二维和一维介质中的简化

1.3 论文大纲

第2章基本的Dirichlet-to-Neumann方法模拟光子晶体器件

2.1 介绍

2.2 单元晶格的DtN算子

2.3 晶格边元的方程

2.4 边界条件

2.5 三角形栅格

2.6 数值算例

2.6.1 90°光子晶体波导管弯曲

2.6.2 微型空腔

2.6.3 波导管分支

2.6.4 含有短桩的光子晶体波导管

2.6.5 60°波导管弯曲

2.7 小结

第3章改进的Dirichlet-to-Neumann方法模拟大型光子晶体器件

3.1 介绍

3.2 基本的DtN映射方法

3.3 算子推进（OM）模式

3.4 Bloch模展开方法

3.5 数值算例

3.6 小结

第4章光子晶体波导管的连接

4.1 介绍

4.2 普通波导管的边界条件

4.3 4阶有限差分格式

4.4 光子晶体波导管的边界条件

4.5 连续性条件

4.6 数值算例

4.6.1 普通介质波导管与光子晶体波导管的连接

4.6.2 光子晶体波导管和自由空间之间的锥形结构

4.7 小结

第5章光子晶体反常的折射特性

5.1 介绍

5.2 入射光束

5.3 边界条件及算子推进方法

5.4 数值算例

5.5 小结

第6章结论

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果

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