一类四阶非线性波动方程的Cauchy问题

论文摘要

本文研究如下的Cauchy问题:其中x∈R,t∈R+,β＞0为常数,u（x,t）为未知函数,P,Φ,Ψ为给定的非线性函数,u0（x）和u1（x）为给定的初值函数,下标x和t分别表示对x和t求偏导数.这里我们不妨假定P’（0）=0,Ψ（0）=0.全文分四章:第一章为引言;第二章主要利用压缩映射原理研究Cauchy问题（1）（2）的局部解的存在唯一性;第三章用能量的方法并通过先验估计讨论Cauchy问题（1）（2）的整体解的存在唯一性;第四章利用凸性方法讨论Cauchy问题（1）（2）的整体解的不存在性.具体情况如下:在第二章中我们主要应用压缩映射原理证明Cauchy问题（1）（2）的局部解的存在唯一性.主要结果如下:定理1假定u0∈H1∩W1,∞,u1∈H1∩W1,∞, |Φ’’’（u）-Φ’’’（v）|≤max{C2,C3|u-v|(1+|u|m1+|v|m1)},Φ’（0）=0, |P’（u）-P’（v）|≤C4|uv|(1+|u|m2+|v|m2), |Ψ’（u）-Ψ’（v）|≤C5|u-v|(1+|u|m3+|v|m3),Ψ’（0）=0, （3）其中Ci,mj≥0（i=2,3,4,5;j=1,2,3）,则问题（1）（2）有唯一局部解其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,T0依赖于||u0||H1+||u0x||∞+||u1||H1+||u1x||∞,而且如果则T0=∞.注1:如果Ψ=Φ,只须去掉（3）,定理1仍然成立.定理2假定定理1的条件成立,则问题（1）（2）有唯一局部解其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,T0依赖于||u0||H1+||u0x||∞+||u1||H1+||u1x||∞,而且如果（4）成立,则T0=∞.在第三章中,我们主要利用能量法并通过先验估计证明Cauchy问题（1）（2）的整体解的存在唯一性.主要结果如下:定理3假定定理1的条件成立,其中C9是一个常数,且则问题（1）（2）有唯一整体解注2:如果Ψ=Φ,只须将（5）改为C9≥0,定理3仍然成立.定理4假定定理1的条件成立,如果（?）,使得则问题（1）（2）有唯一整体解u∈C2（[0,∞）;H1∩W1,∞.在第四章中,我们利用凸性方法得到Cauchy问题（1）（2）的整体解的不存在性.主要结果如下:定理5假定定理1的条件成立,且存在常数α＞0使得则问题（1）（2）的解在有限时刻发生爆破,若下列条件之一成立: （1）E（0）<0; （2）E（0）≥0,（u1+u0）+β(u1x,u1)＞（?）注3:如果Ψ=Φ,只须去掉（6）,定理5仍然成立.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 Cauchy问题（1.1）（1.2）局部解的存在性和唯一性
• 第三章 Cauchy问题（1.1）（1.2）整体解的存在性和唯一性
• 第四章 Cauchy问题（1.1）（1.2）整体解的不存在性
• 参考文献
• 致谢