李超代数与非线性演化方程族的研究

论文摘要

本文主要研究了超可积系统及其超Hamilton结构,超可积系统的对称约束及其双非线性化,Li方程族的守恒律和对称以及带自相容源的Geng方程.本文的主要内容包括以下四部分：1.从李超代数B（0,1）不同形式的基及其相应的圈李超代数出发,分别考虑了KN方程族、GJ方程族、Yang方程族的超等谱问题,利用屠格式推导出了超KN方程族、超GJ方程族、超Yang方程族,最后利用超迹恒等式给出了它们的超Hamilton结构.此外,通过计算给出了每一个超方程族的第一个非平凡的超方程组.2.将可积系统的双非线性化方法推广到超可积系统.首先考虑了超NLS-MKdV方程族的Bargmann对称约束,并给出了超NLS-MKdV方程族在该Bargmann对称约束下的双非线性化,继而给出了超NLS-MKdV方程族的一个隐式对称约束,并给出了超NLS-MKdV方程族在该隐式对称约束下的双非线性化；其次考虑了超Guo方程族的Bargmann对称约束,并给出了超Guo方程族在该Bargmann对称约束下的双非线性化,继而给出了超Guo方程族的一个隐式对称约束,并给出了超Guo方程族在该隐式对称约束下的双非线性化：最后构造了超经典Boussinesq方程族,考虑了超经典Boussinesq方程族的一个对称约束,并给出了超经典Boussinesq方程族在该对称约束下的双非线性化.3.给出了Li方程族的守恒律,接着给出了Li方程族的两种对称：k-对称和T-对称,并证明这两种对称构成Lie代数.4.将胡星标、王红艳提出的源生成方法分别应用于Geng方程,得到了带自相容源的Geng方程,接着将源生成方法应用于Pfaff式化的Geng方程,得到了带自相容源的Pfaff式化的Geng方程,并验证了源生成方法与Pfaff式化方法对Geng方程而言满足可交换性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 可积系统
• 1.3 无穷守恒律和对称
• 1.4 孤子方程的求解
• 1.5 数学机械化与计算机代数
• 1.6 本文的主要工作
• 第二章 超可积系统及其超Hamilton结构
• 2.1 李超代数B（0,1）与可积系统基础理论简介
• 2.1.1 李超代数简介
• 2.1.2 屠格式的一般理论
• 2.1.3 超可积系统与超迹恒等式
• 2.1.4 有限维Grassmann代数简介
• 2.2 超KN方程族及其超Hamilton结构
• 2.3 超GJ方程族及其超Hamilton结构
• 2.4 超Yang方程族及其超Hamilton结构
• 第三章 超可积系统的对称约束及其双非线性化
• 3.1 超NLS-MKdV方程族的对称约束及其双非线性化
• 3.1.1 超NLS-MKdV方程族
• 3.1.2 超NLS-MKdV方程族的Bargmann对称约束及其双线性化
• 3.1.3 超NLS-MKdV方程族在隐式对称约束下的双非线性化
• 3.2 超Guo方程族的对称约束及其双非线性化
• 3.2.1 超Guo方程族
• 3.2.2 超Guo方程族的Bargmann对称约束及其双非线性化
• 3.2.3 超Guo方程族在隐式对称约束下的双非线性化
• 3.3 超经典Boussinesq方程族的对称约束及其双非线性化
• 3.3.1 超经典Boussinesq方程族
• 3.3.2 超经典Boussinesq方程族的对称约束
• 3.3.3 超经典Boussinesq方程族在对称约束下的双非线性化
• 第四章 非线性方程其他性质的研究
• 4.1 Li方程族的守恒律和对称
• 4.1.1 引言
• 4.1.2 Li方程族
• 4.1.3 Li方程族的守恒律
• 4.1.4 Li方程族两种类型的对称
• 4.2 带自相容源的Geng方程
• 4.2.1 引言
• 4.2.2 带自相容源的Geng方程
• 4.2.3 带自相容源的Pfaff式化的Geng方程
• 4.2.4 源生成方法与Pfaff方法的可交换性
• 回顾与展望
• 参考文献
• 博士期间科研成果
• 致谢