具有高斯测度的Sobolev空间上的函数逼近

论文摘要

设X是具有范数‖·‖X的赋范线性空间，W是X的一个有界子集，T是从X到X的一个有界线性算子，Fn是X的一个n-维子空间。量分别叫做W对Fn的偏差和W被算子T逼近的误差。它们反映了W中的“最坏”元素被Fn和T的逼近程度。量叫做W在X中的Kolmogorov n-宽度，这里Fn取遍X中的维数不超过n的所有线性子空间。它反映了W中的“最坏”元素被n-维子空间的最佳逼近误差。W在X中的线性n-宽度定义为：这里Tn取便X中维数不超过n的所有线性算子。它反映了W中的“最坏”元素被秩为n的线性算子的逼近误差。关于Kolmogorov和线性宽度的详细信息可见[LGM]和[Pin]。令W是一个Banach空间且包含着一个含有W的开子集的Borel域B。假设μ是定义在B上的一个概率测度。对于1≤p<∞，W对Fn的p平均偏差和W被T的p-平均逼近误差分别定义为：和它们反映了W中的“大多数”元素可以被Fn和T逼近程度。类似的，对于1≤p<∞，p-平均Kolmogorov n-宽度和p-平均线性n-宽度分别定义为：和它们反映了集族中“大多数”元素被n-维子空间和秩为n的线性算子的最佳逼近。因此，在最坏框架下，逼近强调的是“最坏”元素的行为，而在平均框架下，逼近强调的是“大多数”元素的行为。我们注意到，在平均框架下逼近效果好的，在最坏框架下逼近的效果不一定好。和最坏框架情况相比，在平均框架下逼近结果与实际经验更加匹配。在这篇论文中，我们讨论具有高斯测度的Sobolev空间上一元周期函数被三角多项式的最佳逼近和线性算子逼近的问题。对Wiener空间上连续函数类似的逼近问题已经在[Lee]，[LW]和[SW]中研究过了。关于平均框架下的结果的更多信息可以见[CF1]，[CF2]，[FY1]，[FY2]，[Lee]，[LW]，[M2]，[M4]，[WZZ]，[Rit]和[TWW]。在[M3]，[M4]，[FY1]，[FY2]中，Maiorov，Gensun Fang，PeixinYe得到了高斯测度的Sobolev空间上的平均Kolmogorov和线性宽度的渐近阶。但是他们采用的是离散化方法是非构造性的，这种方法没有给出渐进最优子空间和渐进最优线性算子。在这篇论文中，我们获得了在平均框架下，三角多项式子空间的最佳逼近及Fourier部分和算子，Vallée-Poussin算子，Cesáro算子，Abel算子，Jackson算子逼近的平均误差估计的渐进阶。我们证明了，在平均框架下，在Lq（1≤q<∞）空间尺度下三角多项式子空间是渐进最优子空间，但是在L∞空间尺度下，三角多项式子空间不是渐进最优子空间。我们还证明了，Fourier部分和算子和Vallée-Poussin算子在Lq（1≤q≤∞）空间尺度下是渐进最优线性算子。注意到在平均框架下，在Lq（1≤q<∞）空间尺度下，渐进最优线性算子如Fourier部分和算子和Vallée-Poussin算子与最优非线性算子的逼近效果一样好。另外，Cesáro算子，Abel算子和Jackson算子都具有饱和性。本文的主要内容如下：对于r>0，记这里（?）’表示对于所有的k∈Z＼{0}求和。那么Sobolev空间W2r是一个Hilbert空间。我们赋予W2r一个高斯测度μ，它的均值等于零，相关算子Cμ的特征函数是ek=exp（ik（·）），相应的特征值是λk=|k|-s，s>1，即记Tn表示次数不超过n的所有三角多项式组成的子空间，对于1≤p<∞，1≤q≤∞，记和其中A表示从Lq到Lq的线性算子。设Λn={λn（k）}k∈Z是一个有界序列是一个乘子，其中x=∑’kx（k）ek（t）∈W2r。本论文主要研究在平均框架下周期函数被三角多项式子空间的最佳逼近和一些常见算子的逼近问题，主要结果如下：定理1．设1≤p，q<∞，s>1，r>1/2，乘子Λn（x，t）的定义由（0．1）给出，则（i）这里cp=π-1/22p/2Γ（p+1/2）．（ii）定理2．设1≤p<∞，s>1，r>1/2，乘子Λn（x，t）的定义由（0．1）给出，则对于任意整数m>p，我们有记Sn，Vn分别表示Fourier部分和算子和Vallée-Poussin算子，即：定理3．设1≤p<∞，s>1，和r>1/2，则注1：由[M4]，[FY1]和[FY2]，我们知道对于1≤p<∞，由（0．2）和（0．3）得到，在平均框架下，三角多项式子空间在Lq（1≤q<∞）空间尺度下是渐进最优子空间，但在L∞空间尺度下，三角多项式子空间不是渐进最优子空间。我们注意到在最坏框架下，三角多项式子空间在Lq（2<q≤∞）空间尺度下不是最优线性子空间（事实上，渐近最优线性子空间现在仍然不知道）。Creutzig在[Cr]中证明了在最坏框架下的渐进最优子空间也是平均框架下的渐进最优子空间，猜想在平均框架下的渐进最优子空间也是最坏框架下的渐进最优子空间，从上述结果可知，Creutzig的猜想是不对的。注2：由（0．2）和（0．4）得到，在平均框架下，Fourier部分和算子Sn和Vallée-Poussin算子Vn在Lq（1≤q≤∞）空间尺度下是渐近最优的线性算子。由（0．3）和（0．4）可知，渐进最优的线性算子如Fourier部分和算子在Lq（1≤q<∞）尺度下和最优的非线性算子逼近阶相同。在L∞空间的尺度下，渐进最优的线性算子和最优的非线性算子只差一对数阶（lnn）1/2。注意到在最坏框架下，最优线性算子和最优非线性算子在Lq（2<q<∞）空间尺度下相差阶n1／2-1／q（见[T，pp．50-51]）。而在最坏框架下，Sn是性质比较坏的算子，事实上，Sn在L∞空间的尺度下不一致有界（见[T，p．26]）。设Snα表示Cesáro算子，即：其中（α）n=Γ（n+α+1）／Γ（α+1）Γ（n+1）。定理4．设1≤p<∞，α>0，s>1，和r>1/2，则（i）对于1≤q<∞，（ii）对于q=∞，定理5．设1≤p<∞，s>1，和r>1/2，则（i）对于1≤q<∞，-1／2<α<0，（ii）对于1≤q<∞，α=-1／2，（iii）对于1≤q<∞，-1<α<-1／2，（iv）对于q=∞，-1／2<α<0，（v）对于q=∞，α=-1／2，（vi）对于q=∞，-1<α<-1／2，设l≥2，n=1，2，...，是正整数。设knl（t）表示Jackson核，则其中n’=[n/l]+1，τnl是常数并且满足（2π）-1∫-ππknl（t）dt=1。记Jn表示Jackson算子，即：定理6．设1≤p<∞，s>1，和r>1/2，则（i）对于1≤q<∞，（ii）对于q=∞，记Aβ表示Abel算子，即：定理7．设1≤p<∞，s>1，和r>1/2，则（i）对于1≤q<∞，（ii）对于q=∞，注3：由定理4-7，我们有对于1≤p，q<∞，2r+s>5，这意味着，在平均框架下，Cesáro算子，Jackson算子和Abel算子具有饱和性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• §1 Introduction
• §2 Main Results
• §3 Proofs of Theorems 1-7
• References
• 致谢