带非负限制的增广Tikhonov正则化方法

论文摘要

本文主要研究带非负限制的线性反问题。本文在贝叶斯的框架下,提出了一种Tikhonov类型的带非负限制的正则化泛函,通过求该泛函的极小值解可以自动选择正则化参数,决定误差水平,求得障碍参数,并且同时求出带非负限制线性反问题的正则化解。本文证明了泛涵极小值解的存在性,并且提出了求得此非线性泛涵极小值解的交替迭代算法,还分析了该算法的收敛性。对于交替迭代算法中涉及的求非线性方程组非负解的子问题,文中先证明了其非负解存在且唯一,然后采用非线性Gauss-Seidel迭代法求解此子问题,该方法可以在迭代过程中始终保持解的非负性。论文还证明了由非线性Gauss-Seidel迭代法产生的迭代序列收敛到非线性方程组的唯一准确解,且与初始值的选取无关。最后的数值实验也表明了本文所采用的带非负限制的增广Tikhonov正则化方法以及交替迭代算法和非线性Gauss-Seidel迭代法来求解带非负限制的线性反问题是有效的。

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摘要

ABSTRACT

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第一章引言

1.1 反问题的背景及发展

1.2 本义主要内容及意义

第二章理论基础

2.1 反问题的理论基础

2.2 最优化的基本概念和定理

2.3 概率统计基本知识

2.3.1 几个重要的分布和定理

2.3.2 条件概率和贝叶斯公式

2.4 Gamma两数的基本性质

第三章带非负限制的增广Tikhonov正则化模型

3.1 先验模型

3.2 误差模型

3.3 分级贝叶斯模型

3.4 后验概率分布模型

3.5 带非负限制的增广Tikhonov正则化泛函

第四章理论结果

4.1 泛函极小值解的存在性

4.1.1 泛函J关于X≥0强制

4.1.2 泛函J极小值解的存在性

4.2 两个子问题非负解的存在唯一性

4.2.1 子问题（Ⅰ）

4.2.2 子问题（Ⅱ）

第五章算法及算法的收敛性分析

5.1 求泛函J的极小值解

5.2 算法1:求解非线性方程组（Ⅰ）

5.3 算法1的收敛性分析

5.4 算法2:求解非线性方程组（Ⅱ）

5.5 算法2的收敛性

5.6 求解α的算法

5.7 超参数对的选取

第六章数值实验

6.1 数值实验

6.1.1 数值实验1:phillips

6.1.2 数值实验2:heat

laplace'>6.1.3 数值实验3:i_laplace

6.1.4 数值实验4:blur

6.2 数值实验结果分析

6.2.1 数值解的准确性

6.2.2 迭代步数

6.2.3 参数及目标函数的收敛性

第七章结论及未来研究展望

参考文献

致谢

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