论文摘要
单圈图是边数等于顶点数的简单连通图。设A是图G的（0,1）-邻接矩阵,A的所有特征值叫做图G的谱,记作specG。图G的零度是指在图的谱中零特征值的重数,记作η（G）。一个图G称为奇异的（非奇异的）如果它的邻接矩阵A是奇异的（非奇异的）。1957年,在文献[1]中L.Collatz和U.Sinogowitz首先提出:刻画所有满足条件η（G） > 0的图G。这个问题是要找出图的结构和零度η（G）之间的联系,确定图的零度是否能被图的一些已知量确定表示。这个问题在化学中有很重要的意义,零特征值的重数在化学分子结构图的稳定性问题中有广泛的应用。在文献[2]中作者得出,对一个二部图G来说,如果η（G） > 0,那么这个图所代表的分子式是不稳定的。零特征值的重数在数学领域也有很重要的意义,因为它关系到矩阵A（G）的奇异性。关于树图和二部图的已有结论见文献[3-7],在文献[8]中作者得到了n阶单圈图的零度的范围,给出了刻画非奇异单圈图的充分条件,并提出了一个问题,即这个条件是否也是必要的。本文主要结果分为三个部分,第一部分先对文献[8]中的问题作出肯定回答,给出刻画非奇异单圈图的充要条件;第二部分给出计算单圈图零度的公式;第三部分讨论了n阶连通图的线图的零度。本文的内容分为四个章节。第一章介绍背景,基本概念以及相关结果。第二章我们先介绍基本的单圈图的定义,然后对文献[8]中的问题作出肯定回答,给出刻画非奇异单圈图的充要条件。第三章主要给出计算单圈图的零度的公式。我们先给出PED-图的概念,并得到n阶PED-图的零度的计算公式。然后给出新的概念保留点和保留数,再通过最大匹配数得到单圈图的零度的计算公式。第四章研究了n阶连通图的线图的零度。并得到了单圈图的线图的零度上界是2。最后给出一类单圈图,它的线图的零度可以达到上界2。
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