Theta函数恒等式

论文摘要

本文给出了一个新的theta函数交错循环和公式、证明了一些多重积恒等式,并给出了q-级数的一些结果.本文的具体内容如下：（一）给出了一个新的theta函数交错循环和公式.我们利用经典椭圆函数理论证明了一个新的theta函数交错循环和公式,并对此进行了讨论.从这个交错循环和公式出发,我们证明了大量的模恒等式,其中部分等式曾经出现在Ramanujan的笔记本中.应用Jacobi虚变换到此循环和公式,我们得到了它的对偶形式.我们还得到了四个（q;q）2n的展开式.（二）利用著名的Jacobi三重积恒等式以及级数的重排,我们证明了五重积恒等式,A2型Macdonald恒等式和Winquist恒等式.这一部分的重点是一些简化的（有的也似乎是新的）多重积恒等式的证明和应用.从这些多重积恒等式出发,我们得到了大量的模恒等式,其中包括（q;q）2和（q;q）4等的展开式.（三）证明了一个新的theta函数四个之积公式,并由此得到一个（q;q）12展开式.（四）推广了Liu在q-微分算子上的一个结果；利用解析延拓证明了2ψ2,3ψ3和4ψ4公式.

论文目录

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• 摘要
• ABSTRACT
• 主要符号对照表
• 第一章 绪论
• 1.1 背景介绍
• 1.2 常用符号和基本性质
• 1.3 论文结构
• 第二章 Theta函数交错循环和公式及其应用
• 2.1 引言
• 2.2 Theta函数交错循环和公式的证明及其应用
• 2.2.1 交错循环和公式的证明
• 2.2.2 交错循环和公式的某些特例
• ∞²ⁿ的两个展开式'>2.2.3 （q;q）_∞²ⁿ的两个展开式
• 2.3 Theta函数交错循环和公式的虚变换公式及其应用
• 2.3.1 Theta函数交错循环和公式的虚变换公式
• 2.3.2 应用
• 第三章 多重积恒等式
• 3.1 引言
• 3.2 三个经典多重积恒等式的证明
• 3.2.1 重积恒等式
• 2型Macdonald恒等式'>3.2.2 A₂型Macdonald恒等式
• 3.2.3 Winquist恒等式
• 3.3 其它多重积恒等式
• 3.3.1 主要结果
• 3.3.2 定理3.4-3.8的证明
• 3.3.3 模恒等式
• 3.3.4 定理3.5的又一个证明
• 第四章 四个theta函数的乘积公式
• 4.1 引言
• 4.2 定理4.1的证明
• ∞¹²的展开式'>4.3 （q;q）_∞¹²的展开式
• 第五章 q-级数中的一些结果
• 5.1 四个q-函数方程和它们的解
• 5.1.1 引言
• 5.1.2 四个函数方程和它们的解
• 2ψ₂、₃ψ₃以及₄ψ₄的证明'>5.2 双边求和公式₂ψ₂、₃ψ₃以及₄ψ₄的证明
• 5.2.1 引言
• 2ψ₂的证明'>5.2.2 公式₂ψ₂的证明
• 3ψ₃的证明'>5.2.3 公式₃ψ₃的证明
• 4ψ₄的证明'>5.2.4 公式₄ψ₄的证明
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表和完成的论文情况
• 致谢