变分迭代法的若干研究

论文摘要

本文主要讨论了变分迭代法[VIM]及其在求解积分方程数值解方面的应用。全文共分四章。第一章首先简单介绍了数值求解积分方程的迭代法和投影法,这些方法为VIM的提出奠定了基础;随后介绍了变分法及变分原理的相关概念和定理,这是VIM的理论基础。第二章解释了VIM中所涉及到的一些基本概念,包括一般的Lagrange乘子、稳定性条件、限制变分等,以便于后面的讨论,同时还介绍了VIM的基本原理及其收敛性。第三章提出了求解第二类积分方程组的变分迭代方法。给出了用VIM求解Fredholm型和Volterra型积分方程组的具体过程,关键是通过对方程两边求导数,得到适合用VIM求解的方程的形式,然后根据变分迭代法原理构造相应的迭代格式;最后用两个数值算例说明该方法的有效性,并与文献中的Taylor展开法的数值结果作了比较,证明我们的方法具有明显的优越性。第四章讨论了VIM在求解高阶的Volterra型积分微分方程方面的应用。提出了一种间接的VIM法,即将高阶方程转化成方程组的形式,再对此方程组的每一个变量构造变分迭代格式,这里我们给出了详细的迭代格式的构造过程,说明间接的VIM方法求解Lagrange乘子λ的过程简单,且对每一个函数相应的λ值都是-1,因此求解Lagrange乘子λ的过程就可省略,而直接令λ=-1得到迭代公式;最后,我们给出了两个数值例子,并与文献中的结果作了比较,表明间接VIM得到的结果的误差要小于文献中的结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 背景介绍
• 1.1 引言
• 1.2 变分方法和变分原理
• 第二章 变分迭代法原理与概念
• 2.1 引言
• 2.2 变分迭代法的基本概念
• 2.2.1 一般的Lagrange乘子
• 2.2.2 稳定性条件
• 2.2.3 限制变分
• 2.3 变分迭代法原理
• 第三章 变分迭代法求解第二类的积分方程
• 3.1 引言
• 3.2 VIM法求解积分方程组
• 第四章 变分迭代法求解高阶积分微分方程
• 4.1 引言
• 4.2 化为方程组的变分迭代法
• 4.3 数值算例
• 4.4 关于变分迭代法的总结和展望
• 致谢
• 参考文献