论文摘要
本文以两个典型的三自由度对称碰撞振动模型为研究对象,系统地研究了该类非光滑动力系统的分岔和混沌等动力学行为。研究表明:有对称双侧刚性约束的碰撞振动系统（对称碰撞振动系统）的动力学行为与一般的碰撞振动系统相比有很大的不同。第一章从碰撞振动系统的周期运动的稳定性、分岔以及混沌等方面的理论研究和工程应用背景出发,综述了部分研究成果、最新发展动态和存在的主要问题。第二章研究了三自由度对称碰撞振动系统的对称周期n-2运动以及Poincaré映射的对称性。讨论了其对称周期n-2运动的存在性条件,并得到了对称周期n-2运动的解析解。确定了系统的Poincaré截面及其对称截面,建立了一个对称变换,并构造了Poincaré映射。研究发现系统的Poincaré映射具有一定形式的对称性,在这种对称性质作用下,Poincaré映射P可以表示为另外一个映射Qγ的二次复合。定义了对称不动点和反对称不动点的概念,它们分别对应于碰撞振动系统的对称周期n-2运动和反对称周期n-2运动。利用Poincaré映射的线性化矩阵的特征值,结合映射不动点的分岔理论,证明了碰撞振动系统的对称不动点（对称周期n-2运动）不可能发生余维一的周期倍化分岔,以及Hopf-flip分岔和pitchfork-flip分岔。证明了两个反对称不动点（反对称周期n-2运动）的Poincaré映射的线性化矩阵具有相同的特征值,从而说明它们具有相同的稳定性。计算了对称不动点（对称周期n-2运动）的Poincaré映射的线性化矩的特征值。通过数值模拟发现对称不动点可能发生音叉分岔和Hopf分岔。第三章研究了一类三自由度对称碰撞振动系统在音叉分岔后通向混沌之路。利用动力系统中的极限集理论,研究了对称碰撞振动系统吸引子的对称性。讨论了从非对称极限集转化为对称极限集的条件,并得到以下结论:若ω-极限集与其共轭极限集的交集非空,则该ω-极限集是对称极限集。数值模拟不仅得到了非对称的共轭混沌吸引子和对称混沌吸引子,还得到了非对称的共轭拟周期吸引子和对称拟周期吸引子。在一定的参数区间上,吸引子则可能反复经历失去对称性和恢复对称性的过程。对于映射P而言,拟周期吸引子明显地具有“爆发”的特征,即吸引子的形状突然变大,并延伸到与自身对称的区域,从而完成了从非对称极限集到对称极限集的演化,因此这个过程可称为吸引子的“恢复对称性”分岔。对于映射Qγ而言,则可以认为是两个共轭的拟周期吸引子互相碰撞并同时突然融合到对方体内,完成了从非对称极限集到对称极限集的演化,从而生成一个外形尺寸更大的具有对称性的拟周期吸引子。以上这两种解释不仅对于拟周期吸引子是有效的,对于其它类型的吸引子（例如混沌吸引子）同样是有效的。第四章研究了三自由度对称碰撞振动系统的余维二分岔。因为Poincaré映射P的对称性能够通过映射Qγ表示,对于映射P在分岔点处的范式研究,可转化为对映射Qγ的范式研究。讨论了Poincaré映射P在几种余维二分岔点处的范式映射,包括:Hopf-Hopf分岔,Hopf-pitchfork分岔,以及1:2共振的情况。以上这三种情况分别对应于映射Qγ的Hopf-Hopf分岔,Hopf-flip分岔,以及1:4共振的情况。在这三种余维二分岔的情况下,虽然映射P及其所对应的映射Qγ的范式的形式是完全相同的,但是范式映射的系数却是不同的。这当然导致了它们范式映射在余维二分岔点处的开折图中的区间边界的不同。对模型一的Hopf-Hopf分岔和1:2共振的情况,以及模型二的Hopf-pitchfork分岔进行了数值分析。还通过数值模拟发现了三个孤立的稳定Hopf圈共存的现象,其演化顺序为:一个不稳定对称不动点→一个半稳定的对称Hopf圈→三个稳定Hopf圈。目前还不能对这种现象给出较好的理论解释。第五章研究了对称碰撞振动系统的Lyapunov指数的计算方法。对于具有对称双侧刚性约束的碰撞振动系统,利用其Poincaré映射P的对称性质,可以通过构造一个虚拟隐式映射Qγ来计算所有Lyapunov指数。当得到虚拟隐式映射Qγ之后,便可以引用光滑系统中采用时间序列的方法来计算Lyapunov指数。当得到全部的Lyapunov指数之后,就可以计算Lyapunov维数,并可以之来衡量混沌吸引子的奇异性。利用Lyapunov指数来区别长周期运动和混沌运动也是十分有效的。本章还说明了在碰撞振动系统中取不同的Poincaré截面构造Poincaré映射P对于研究系统的局部动力学行为是等效的。
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