一类次二次Lagrange系统的多重周期解

论文摘要

一类次二次Lagrange系统的多重周期解哈密顿系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度进行研究，变分法便是其中之一。哈密顿系统是具有变分结构的系统，求哈密顿系统的解可以转化为寻找其对应泛函的临界点。正因为如此，哈密顿系统的研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合，取得了巨大进展。尤其是在应用变分方法寻找哈密顿系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解等方面，取得了许多非常深刻的结果。本论文主要研究一类较二阶哈密顿系统更一般的方程的多重T—周期解q=q（t）。这类方程称为Lagrange系统。其中L表示Lagrange位势函数：L（t，q，ξ）=1/2sum from i，j=1 to nαij（q）ξiξj-V（t，q），q，ξ∈Rn，t∈Rαij（q）∈C（Rn，R） （i，j=1，…，n）V（t，q）是Rn+1上的实值函数。若αij（q）≡1，则方程（L1）即化为通常的二阶哈密顿系统。在这里我们主要研究，（L1）中的V在无穷远处是次二次，即（V（t，q）/|q|2）→0，（|q|→∞）时其多重周期解的存在性。我们的主要结果是定理1．假设αij满足条件：（A）存在常数μ1＞0，μ2＞0使得μ1|ξ|2≤（α（q）ξ，ξ）≤μ2|ξ|2，q∈Rn，ξ∈Rn。V（t，q）与t无关，简单记为V（q），满足下列条件：存在正常数M，r1，r2，ε使得（V1）|V′（q）|≤φ1（|q|），|q|＞r1，q∈Rn。（V2）V（q）≥φ2（|q|）-M，Q∈Rn。（V3）V（q）-1/2（q，V′（q））Rn≥φ11+ε（|q|），|q|＞r2。其中φ1，φ2∈C（R+，R+），且满足下列条件：（ⅰ）φ1（x）/x→0，x→+∞且φ1是增加的；（ⅱ）φ2（x）→+∞，|x|→∞；（ⅲ）φ2（x）/φ11+ε→+，|x|→∞；（ⅳ）φ11+ε（x）是Lipschitz连续的；（V4）存在β∈（0，2）使得α′（q）q+βα（q）≥0，（?）q∈Rn；（V5）V（q）=0是V的最小值，V′（q）≠0，对任意的q≠0；（V6）αij（q），V（q）在原点是二次可微的，V″（0）的特征值都是正的；对任意的k∈N，令T（k）=2π[（k2+1）v/λ]1/2，其中v是{αij（0）)的最大特征值，λ是V″（0）的最小特征值。那么，对任意T＞T（k），问题（L1）存在至少nk个不同的T—周期解。发现问题（L1）的多重周期解可化为寻找泛函f（q）=integral from n=0 to T L（t，q，（?））dt=1/2integral from n=0 to T （α（q）（?），（?））dt-integral from n=0 to T V（t，q）dt，q=q（t）∈HT1在空间HT1上的临界点。定理2．如果L满足条件（A）及（V1）～（V4），g∈L2（R，Rn）是T—周期函数，那么对任意T＞0，受迫的Lagrange系统至少存在一个非常数的T—周期解。在这里我们将主要运用临界点理论证明上述结果。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 前言
• 第一章 临界点理论简介
• 第二章 哈密顿系统的周期解
• 第三章 一类次二次Lagrange系统的多重周期解
• 3.1 主要结果概述
• 3.2 定理（3.16）的证明
• 3.3 受迫振动
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的学术论文目录
• 致谢